2019数学(理)二轮教案：专题三第二讲数列的综合应用Word版含解析.pdf

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1、第二讲数列的综合应用年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养等差数列的通项公式命题分析2018Ⅱ卷和前n项和公式·T17数列在解答题中的考查常从数列的相关项以及关等差数列的基本运系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结Ⅱ卷算·T17合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列、不等式的证明等加以综合．试题难2016等比数列的通项公式、度中等．Ⅲ卷an与Sn的关系·T17学科素养通过递推关系求通项，根据通项结构选择恰当的求和方法求和.由递推关系求通项授课提示：对应学生用书第30页[悟

2、通——方法结论]求数列通项常用的方法(1)定义法：①形如an＋1＝an＋C(C为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如an＋1＝kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列．(2)叠加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋⋯＋(an－an－1)，求其通项公式．an＋1a2a3an(3)叠乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···⋯·，求其通项公式．ana1a2an－1(4)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数q法把

3、原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再转化为等比数列求解．1－pn(5)构造法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两1n＋1an＋1pan1anp1边同除以q，得n＋1＝·n＋，构造新数列{bn}其中bn＝n，得bn＋1＝·bn＋，接下来qqqqqqq用待定系数法求解．[全练——快速解答]11111．(2018·洛阳四校联考)已知数列{an}满足条件a1＋2a2＋3a3＋⋯＋nan＝2n＋5，则2222数列{an}的通项公式为()14，n＝1，n＋1A．an＝2B．an＝n＋

4、12，n≥2nn＋2C．an＝2D．an＝21111解析：由题意可知，数列{an}满足条件a1＋2a2＋3a3＋⋯＋nan＝2n＋5，则n≥2时，22221111有a1＋2a2＋3a3＋⋯＋n－1an－1＝2(n－1)＋5，n≥2，2222an两式相减可得，n＝2n＋5－2(n－1)－5＝2，2n＋1*∴an＝2，n≥2，n∈N.a1当n＝1时，＝7，∴a1＝14，214，n＝1，综上可知，数列{an}的通项公式为an＝n＋12，n≥2.答案：B*2．(2018·潮州月考)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1

5、，n∈N)，则数列{an}的通项公式是________．解析：法一：由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，n－1∴an＝3.法二：由于an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，Sn＋1＝3Sn＋1，11所以Sn＋1＋＝3Sn＋，2211313n－11n所以数列Sn＋为首项是S1＋＝，公比为3的等比数列，故Sn＋＝×3＝×3，2222221n1

6、即Sn＝×3－.22n－1所以，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3，2n－1由n＝1时a1＝1也适合这个公式，知所求的数列{an}的通项公式是an＝3.n－1答案：an＝33．(2018·福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.(1)证明数列{an}是等比数列；(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比

7、的等比数列．n－1(2)由(1)知，an＝2，n－1所以bn＝(2n－1)×2，2n－2n－1所以Tn＝1＋3×2＋5×2＋⋯＋(2n－3)×2＋(2n－1)×2①2n－1n2Tn＝1×2＋3×2＋⋯＋(2n－3)×2＋(2n－1)×2②由①－②得12n－1n－Tn＝1＋2×(2＋2＋⋯＋2)－(2n－1)·2n－12－2×2n＝1＋2×－(2n－1)×21－2n＝(3－2n)×2－3，n所以Tn＝(2n－3)×2＋3.由an与Sn关系求通项公式的注意事项(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－

8、1中需n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合，则需统一“合写”．(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合，则数列的