2021届新高考数学二轮突破专题二第3讲 三角恒等变换与解三角形（解析版）.docx

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1、第3讲　三角恒等变换与解三角形【要点提炼】考点一　三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”．2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化．【热点突破】【典例】1　(1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα等于(　　)A.　B.C.D.【答案】　A【解析】　由3c

2、os2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－或cosα＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sinα>0，所以sinα＝＝＝.(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　)A.B.C.D.【答案】　C【解析】　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.【方法总结】　(1)公式的使用过程要注意正确性，

3、要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．【拓展训练】1　(1)已知α∈，β∈，tanα＝，则(　　)A．α＋β＝B．α－β＝C．α＋β＝D．α＋2β＝【答案】　B【解析】　tanα＝＝＝＝＝＝tan，因为α∈，β∈，所以α＝＋β，即α－β＝.(2)(tan10°－)·＝________.【答案】　－2【解析】　(tan10°－)·＝(tan10°－tan60°)·＝·＝·＝－＝－2.【要点提炼】考点二　正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半

4、径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝，sinB＝，sinC＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.3．三角形的面积公式：S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.【热点突破】考向1　求解三角形中的角、边【典例】2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝c.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝10，△ABC的面积S△ABC＝4，求a的值．解　(1)由正弦定理及＝c，得＝sinC，∵sinC≠0，∴sinA＝(1

5、－cosA)，∴sinA＋cosA＝2sin＝，∴sin＝，又0

6、且________．(1)求角C；(2)求△ABC周长的最大值．解　(1)选①：因为a＝csinA－acosC，所以sinA＝sinCsinA－sinAcosC，因为sinA≠0，所以sinC－cosC＝1，即sin＝，因为0

7、所以a＋b≤2，当且仅当a＝b时等号成立，所以a＋b＋c≤3，即△ABC周长的最大值为3.【方法总结】　(1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．(2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．【拓展训练】