2021届新高考数学二轮培优点6 极值点偏移问题（解析版）.docx

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1、培优点6　极值点偏移问题【要点提炼】对于函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点x0，方程f(x)＝0的解为x1，x2且a2.(1)解　f′(x)＝e－x(1－x)，令f′(x)>0得x<1；令f′(x)<0得x>1，∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单

2、调递减，∴f(x)有极大值f(1)＝，f(x)无极小值．(2)证明　方法一　(对称化构造法)构造辅助函数F(x)＝f(x)－f(2－x)，x>1，则F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝e－x(1－x)＋ex－2(x－1)＝(x－1)(ex－2－e－x)，∵当x>1时，x－1>0，ex－2－e－x>0，∴F′(x)>0，∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数，∴F(x)>F(1)＝0，故当x>1时，f(x)>f(2－x)，(*)由f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，可设x1<1

3、*)式可得f(x2)>f(2－x2)，又f(x1)＝f(x2)，∴f(x1)>f(2－x2)．又x1<1,2－x2<1，而f(x)在(－∞，1)上单调递增，∴x1>2－x2，∴x1＋x2>2.方法二　(比值代换法)设01，则x2＝tx1，代入上式得lnx1－x1＝lnt＋lnx1－tx1，得x1＝，x2＝.∴x1＋x2＝>2⇔lnt－>0，设g(t)＝lnt－(t>1)，∴g′(t)＝－＝>0，∴当t>1时

4、，g(t)为增函数，∴g(t)>g(1)＝0，∴lnt－>0，故x1＋x2>2.【方法总结】极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2>x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式．(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．【拓展训练】已知函数f(x)＝xlnx的图象与直线y＝m交于不同的两点A(x1

5、，y1)，B(x2，y2)．求证：x1x2<.证明　f′(x)＝lnx＋1，由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得00，得F(x)在上是增函数，∴F(x)

6、又x2>，>，且f(x)在上单调递增，∴x2<，∴x1x2<.方法二　f(x1)＝f(x2)即x1lnx1＝x2lnx2，令t＝>1，则x2＝tx1，代入上式得x1lnx1＝tx1(lnt＋lnx1)，得lnx1＝.∴x1x2<⇔lnx1＋lnx2<－2⇔2lnx1＋lnt<－2⇔＋lnt<－2⇔lnt－>0.设g(t)＝lnt－(t>1)，则g′(t)＝>0.∴当t>1时，g(t)为增函数，g(t)>g(1)＝0，∴lnt－>0.故x1x2<.