2021届新高考数学二轮培优点6 极值点偏移问题(解析版).docx

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1、培优点6 极值点偏移问题【要点提炼】对于函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0,方程f(x)=0的解为x1,x2且a<x1<x22.(1)解 f′(x)=e-x(1-x),令f′(x)>0得x<1;令f′(x)1,∴函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴f(x)有极大值f(1)=,f(x)无极小值.(2)证明 方法一 (对称化构造法)构造辅助函数F(x)=f(x)-f(2-x),x>1,则F′(x)=f′(x)+f′(2-x)=e-x(1-x)+ex-2(x-1)=(x-1)(ex-2-e-x),∵当x>1时,x-1>0,ex-2-e-x>0,∴F′(x)>0,∴F(x)在(1,+∞)上为增函数,∴F(x)>F(1)=0,故当x>1时,f(x)>f(2-x),(*)由f(x1。

2、)=f(x2),x1≠x2,可设x1<1f(2-x2),又f(x1)=f(x2),∴f(x1)>f(2-x2).又x1<1,2-x22-x2,∴x1+x2>2.方法二 (比值代换法)设0<x1<11,则x2=tx1,代入上式得ln x1-x1=ln t+ln x1-tx1,得x1=,x2=.∴x1+x2=>2⇔ln t->0,设g(t)=ln t-(t>1),∴g′(t)=-=>0,∴当t>1时,g(t)为增函数,∴g(t)>g(1)=0,∴ln t->0,故x1+x2>2.【方法总结】极值点偏移问题的解法(1)(对称化构造法)构造辅助函数:对结论x1+x2>2x0型,构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x);对结论x1x2>x型,构造函数F(x)=f(x)-f ,通过研究F(x)的单调性获。

3、得不等式.(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t=化为单变量的函数不等式,利用函数单调性证明.【拓展训练】已知函数f(x)=xln x的图象与直线y=m交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2).求证:x1x20得x>,由f′(x)<0得0<x<,∴函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.可设0<x1<<x2.方法一 构造函数F(x)=f(x)-f ,则F′(x)=f′(x)+f′=1+ln x+·=(1+ln x)·,当0<x<时,1+ln x<0,1-0,得F(x)在上是增函数,∴F(x)<F=0,∴f(x)<f ,将x1代入上式得f(x1)<f ,又f(x1)=f(x2),∴f(x2),>,且f(x)在上单调递增,∴x2<,∴x1x21,则x2=tx1,代入上式得x1ln x1=tx1(ln t+ln x1),得ln x1=.∴x1x2<⇔ln x1+ln x2<-2⇔2ln x1+ln t<-2⇔+ln t0.设g(t)=ln t-(t>1),则g′(t)=>0.∴当t>1时,g(t)为增函数,g(t)>g(1)=0,∴ln t->0.故x1x2<.。

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