小学奥数之第10讲_数论综合(一)

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1、数论综合1.如果把任意n个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两种可能,那么n是多少?2.如果四个两位质数a,b,c,d两两不同,并且满足,等式a+b=c+d.那么,(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?3.如果某整数同时具备如下3条性质:①这个数与1的差是质数;②这个数除以2所得的商也是质数;③这个数除以9所得的余数是5.那么我们称这个整数为幸运数.求出所有的两位幸运数.4.在555555的约数中,最大的三位数是多少?5.从一张长2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能大的正方形,如果剩下的部分不是正方形,那么在剩下的纸

2、片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断地重复,最后剪得正方形的边长是多少毫米?96.已知存在三个小于20的自然数,它们的最大公约数是1,且两两均不互质.请写出所有可能的答案.7.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数是1.那么最少要分成多少组?8.图10-1中两个圆只有一个公共点A,大圆直径48厘米,小圆直径30厘米.两只甲虫同时从A出发,按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时,两只甲虫首次相距最远?99.设a与b是两个不相等的非零自然数.(1)如果它们的最小公倍数是72,那么这两个自然数

3、的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60,那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?10.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳米,黄鼠狼每次跳米,它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔米设有一个陷阱,当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米?11.在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)912.甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少?13.证明:形如11,111,1111,11111,…的数

4、中没有完全平方数.(考虑除以4的余数)14.有8个盒子,各盒内分别装有奶糖9,17,24,28,30,31,33,44块.甲先取走一盒,其余各盒被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.问:甲取走的一盒中有多少块奶糖?15.在一根长木棍上,有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成10等份;第二种将木棍分成12等份;第三种将木棍分成15等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断,那么木棍总共被锯成多少段?9数论综合答案涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题,以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题.1.如果把任意n个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两种可

5、能,那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数,因为其内必有2的倍数,也有5的倍数,则它们乘积的个位数字只能是0。所以n小于5.:当n为4时,如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5),显然其内含有2的倍数,那么它们乘积的个位数字为0;如果不含有5的倍数,则这4个连续的个位数字只能是1,2,3,4或6,7,8,9;它们的积的个位数字都是4;所以,当n为4时,任意4个连续自然数相乘,其积的个位数字只有两科可能.:当n为3时,有1×2×3的个位数字为6,2×3×4的个位数字为4,3×4×5的个位数字为0,……,不满足.:当n为2时,有1×2,2×3,3×4,

6、4×5的个位数字分别为2,6,4,0,显然不满足.至于n取1显然不满足了.所以满足条件的n是4.2.如果四个两位质数a,b,c,d两两不同,并且满足,等式a+b=c+d.那么,(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11,13,17,19,23,29,3l,37,41,43,47,53,59,6l,67,71,73,79,83,89,97.可得出,最小为11+19=13+17=30,最大为97+71=89+79=168.所以满足条件的a+b最小可能值为30,最大可能值为168.3.如果某整数同时具备如下3条性质:①这个

7、数与1的差是质数;②这个数除以2所得的商也是质数;③这个数除以9所得的余数是5.那么我们称这个整数为幸运数.求出所有的两位幸运数.【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数,这个数只能是3或者偶数,再根据条件③,除以9余5,在两位的偶数中只有14,32,50,68,86这5个数满足条件.其中86与50不符合①,32与68不符合②,三个条件都符合的只有14.9所以两位幸运数只有14.4.在555555的约数中,最大的三位数是多少?【分析与解】555555=5×111×1001=3×5×7×11×13×37显然其最大的三位数约数为777.5.从一张长2002毫

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