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时间:2019-05-06
《2018年高中数学第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理.1.3正弦定理和余弦定理习题课达标练习北师大版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.1.3正弦定理和余弦定理习题课[A 基础达标]1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB等于( )A. B.C.-D.-解析:选A.因为a=15,b=10,A=60°,所以在△ABC中,由正弦定理可得sinB===,又由a>b可得A>B,即得B为锐角,则cosB==.2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且cos2=,则△ABC是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:选A.因为cos2=及2cos2-1=cosA
2、,所以cosA=,即=,所以a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形.故选A.3.在△ABC中,已知
3、
4、=4,
5、
6、=1,△ABC的面积为,则·=( )A.±2B.±4C.2D.4解析:选A.因为
7、
8、=4,
9、
10、=1,△ABC的面积为,所以S△ABC=·
11、
12、·
13、
14、·sinA=×4×1×sinA=.所以sinA=,所以cosA=±=±.所以·=
15、
16、·
17、
18、·cosA=4×1×=±2,故选A.4.在△ABC中,A=,且最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根,则第三边的长为( )A.2B.3C.4D.5解析
19、:选C.已知A=,且最大边长和最小边长是方程x2-7x+11=0的两个根,则第三边为a,b+c=7,bc=11,所以a=====4.5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=( )A.B.C.D.解析:选B.因为sinB+sinA(sinC-cosC)=0,所以sin(A+C)+sinA·sinC-sinA·cosC=0,所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,整理得sinC(sinA+cos
20、A)=0,因为sinC≠0,所以sinA+cosA=0,所以tanA=-1,因为A∈(0,π),所以A=,由正弦定理得sinC===,又021、c2=b2+bc,所以cosA=,得A=45°,sinB=,B=30°,所以C=105°.答案:45°,30°,105°8.在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为__________.解析:由正弦定理知==,所以AB=2sinC,BC=2sinA.又A+C=120°,所以AB+2BC=2sinC+4sin(120°-C)=2(sinC+2sin120°cosC-2cos120°sinC)=2(sinC+cosC+sinC)=2(2sinC+cosC)=2sin(C+α),其中tanα=,α是第22、一象限角.由于0°23、由题设及余弦定理b2=a2+c2-2accosB得,ac=a2+c2-2accos60°,即a2+c2-2ac=0.所以(a-c)2=0.从而a=c.由第一问知B=60°,所以A=B=C=60°.所以△ABC为正三角形.10.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cosA+cosC的最大值.解:(1)由余弦定理及题设得cosB===.又因为0<∠B<π,所以∠B=.(2)由(1)知∠A+∠C=,则cosA+cosC=cosA+cos=cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=co24、s.因为0<∠A<,所以当∠A=时,cosA+cosC取得最大值1.[B 能力提升]11.在△ABC中,sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,则C等于( )A. B. C. D.解析:选B.由sin2A-sin2C=(sinA-sinB)·sinB,结合正弦定理可得a2-c2=(a-b)b=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理
21、c2=b2+bc,所以cosA=,得A=45°,sinB=,B=30°,所以C=105°.答案:45°,30°,105°8.在△ABC中,B=60°,AC=,则AB+2BC的最大值为__________.解析:由正弦定理知==,所以AB=2sinC,BC=2sinA.又A+C=120°,所以AB+2BC=2sinC+4sin(120°-C)=2(sinC+2sin120°cosC-2cos120°sinC)=2(sinC+cosC+sinC)=2(2sinC+cosC)=2sin(C+α),其中tanα=,α是第
22、一象限角.由于0°23、由题设及余弦定理b2=a2+c2-2accosB得,ac=a2+c2-2accos60°,即a2+c2-2ac=0.所以(a-c)2=0.从而a=c.由第一问知B=60°,所以A=B=C=60°.所以△ABC为正三角形.10.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cosA+cosC的最大值.解:(1)由余弦定理及题设得cosB===.又因为0<∠B<π,所以∠B=.(2)由(1)知∠A+∠C=,则cosA+cosC=cosA+cos=cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=co24、s.因为0<∠A<,所以当∠A=时,cosA+cosC取得最大值1.[B 能力提升]11.在△ABC中,sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,则C等于( )A. B. C. D.解析:选B.由sin2A-sin2C=(sinA-sinB)·sinB,结合正弦定理可得a2-c2=(a-b)b=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理
23、由题设及余弦定理b2=a2+c2-2accosB得,ac=a2+c2-2accos60°,即a2+c2-2ac=0.所以(a-c)2=0.从而a=c.由第一问知B=60°,所以A=B=C=60°.所以△ABC为正三角形.10.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cosA+cosC的最大值.解:(1)由余弦定理及题设得cosB===.又因为0<∠B<π,所以∠B=.(2)由(1)知∠A+∠C=,则cosA+cosC=cosA+cos=cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=co
24、s.因为0<∠A<,所以当∠A=时,cosA+cosC取得最大值1.[B 能力提升]11.在△ABC中,sin2A-sin2C=(sinA-sinB)sinB,则C等于( )A. B. C. D.解析:选B.由sin2A-sin2C=(sinA-sinB)·sinB,结合正弦定理可得a2-c2=(a-b)b=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理
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