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1、第1卷第5期四川联合大学学报(工程科学版)Vol.1No.51997年9月JOURNALOFSICHUANUNIONUNIVERSITY(ENGINEERINGSCIENCEEDITION)Sept.1997橡胶有限元分析之研究魏泳涛于建华(四川联合大学土木工程及应用力学系成都610065)摘要本文研究了橡胶材料有限元应力分析的两种途径;罚有限单元法及混合插值有限单元法。分别将罚函数及静水压力引入材料应变能密度函数,对橡胶类不可压缩超弹性材料进行了有限元分析;数值结果和解析解符合得较好,表明了算法的有效性。
2、关键词不可压缩超弹性材料;罚函数;静水压力;有限单元法分类号O2421应变能密度函数与应用-应变关系橡胶(天然橡胶或硫化橡胶)从本质上说是一种粘弹性材料,其力学持性与时间及温度有关,即呈现出蠕变、松弛、老化等现象。然而,当时间较短且温度变化不大时,则可认为橡胶材料是完全弹性的:即当载荷被撤走后,橡胶材料完全恢复到它未变形的状态。大量实验阐明了橡胶的弹性源于其热力学过程中的熵,因此其弹性较之其它弹性体是完全不同的。在本文中,我们根据连续介质力学唯象的观点来讨论橡胶的力学特性。这种方法根据大量实验事实对橡胶的
3、力学特性作如下假定:1)橡胶在变形过程中存在着自由能函数,即等温条件下的应变能密度函数W,它可以表达为变形状态的函数,满足此条件的材料称为超弹性材料;而此函数的形式及其中所包含的常数则应实验确定;2)橡胶在变形中体积变化极小,因而可认为是不可压缩的;3)橡胶为各向同性材料。文献[1]列出了常用的应变能密度函数的形式,其中Mooney-Rivilin理论较好地描述了橡胶类不可压缩超弹性材料在大变形下的力学特性,且给出如下形式的应变能密度函数:W=C1(I1-3)+C2(I2-3)且I3=1(1)其中C1、
4、C2为材料常数,I1、I2和I3分别是Cauchy-Green变形张量的三个不变量。[2]不可压缩超弹材料用物质描述的应力-应变关系为收稿日期1996-09-17魏泳涛等橡胶有限元分析之研究79WXiXjSij=2-P(2)Cijxlxl其中,Sij是第二类Piola-Kirchhoff应力张量,P是一坐标函数,Cij为右Cauchy-Green张量,Xi及xi分别为Langrange和Euler坐标。将式(1)代入式(2),有:I1I2XiXjSij=2C1
5、+2C2-P(3)CijCijxlxl同样可写出不可压缩超弹性材料在现时构形上的应力-应变关系:-1ij=2(C1Bij-C2Bij)-Pij(4)ij为Cauchy应力张量,Bij为左Cauchy-Green张量。对小变形情况,式(2)、(3)、(4)可简化成如下形式:ij=2(C1+C2)eij-ij(5)eij为变形Cauchy应变张量,它是位移对坐标的一阶微分。方程(2)、(3)、(4)、(5)均含独立于位移的比例函数P项,它可看成是材料的不可压缩性对材料本构关系的限制。设想一理
6、想实验:橡胶球体外部均匀受压-p,因材料不可压缩,其应变为零,由平衡方程知球体内存在应力-pij;而上述各式计算出的应力张量为2(C1-C2)ij-Pij。因此:1)对不可压缩超弹性体,零应变状态并不对应零应力状态;2)比例函数P具有静水压力的含义,但又不是严格意义上的静水压力。2橡胶的有限元应力分析不可压缩给橡胶超弹性材料的有限元应力分析带来相当的困难。因为这使得在位移有限元中得不到完全由插值位移向量表示的应力-应变关系矩阵。但对平面应力问题,我们仍可应用基于位移的有限单元法,因为在平面应力假设下有:
7、S33=0(6)式(6)提供了一个额外的方程。利用它,我们仍可将静水压力以位移的形式表示出来,因而应力仍是由位移唯一确定的。但平面应力只是一种简化模型;而要有效地分析处于复杂载荷状态下的任意形状的橡胶构件,三维有限元分析是必不可少的。因此,有限单元法分析橡胶材料的关键在于如何考虑不可压缩(I3=1)对应变能密度函数的影响。罚函数法和Lagrange乘子法是解决此问题的两种途径,由此可得到分析橡胶类不可压缩超弹材料的罚有限单元法和混合插值有限单元法。2.1罚有限单元法分析橡胶材料罚有限单元法的基本思想是将完全不
8、可压缩的橡胶类超弹性材料处理成近似不可压缩,从方法上讲它使材料更接近实际情况。对可压缩材料,其静水压力(或体积应力)p可由应变确定出05p=-keij=-k(I3-1)(7)式(7)中k为材料的体积变形模量,eij是以Couchy应变表示的体积应变。如对不可压缩材料,则k趋向无穷大而eij为无穷小,其积此时趋向一有限值,即独立于位移的静水压力p。80四川
