高中数学 第1讲 坐标系 2 极坐标系学案 新人教A版选修.doc

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1、二　极坐标系1．理解极坐标系的概念．2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点)3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点)[基础·初探]教材整理1　极坐标系阅读教材P8～P10，完成下列问题．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离

2、OM

3、叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为

4、始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．在极坐标系中，ρ1＝ρ2，且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【

5、解析】　前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．【答案】　A教材整理2　极坐标和直角坐标的互化阅读教材P11，完成下列问题．1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图121所示．图1212．互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)将点M的极坐标化为直角坐标是(　　)A．(5,5)　B．(5，5)C．(5,5)D．(－5，－5)【解析】　x

6、＝ρcosθ＝10cos＝5，y＝ρsinθ＝10sin＝5.【答案】　A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]将点的极坐标化为直角坐标　写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．(1)；(2)；(3)；(4)(2，－2)．【思路探究】　点的极坐标(ρ，θ)―→―→点的直角坐标(x，y)―→判定点所在象限．【自主解答】　(1)由题意知x＝2cos＝2×＝－1，y＝2sin＝2×＝－，∴点的直角坐标为，是第三象限内的点．(2)x＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝，∴点的直角坐标为

7、(－1，)，是第二象限内的点．(3)x＝2cos＝1，y＝2sin＝－，∴点的直角坐标为(1，－)，是第四象限内的点．(4)x＝2cos(－2)＝2cos2，y＝2sin(－2)＝－2sin2，∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos2，－2sin2)，是第三象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．[再练一题]1．分别

8、把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)；(2)；(3)(π，π)．【解】　(1)∵x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρsinθ＝2sin＝1，∴点的极坐标化为直角坐标为(，1)．(2)∵x＝ρcosθ＝3cos＝0，y＝ρsinθ＝3sin＝3，∴点的极坐标化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x＝ρcosθ＝πcosπ＝－π，y＝ρsinθ＝πsinπ＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．将点的直角坐标化为极坐标　分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)：(1)(－2,2)；(2)(，－)；(3).【思路探究】　利用公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0

9、)，但求角θ时，要注意点所在的象限．【自主解答】　(1)∵ρ＝＝＝4，tanθ＝＝－，θ∈[0,2π)，由于点(－2,2)在第二象限，∴θ＝，∴点的直角坐标(－2,2)化为极坐标为.(2)∵ρ＝＝＝2，tanθ＝＝－，θ∈[0,2π)，由于点(，－)在第四象限，∴θ＝，∴点的直角坐标(，－)化为极坐标为.(3)∵ρ＝＝＝，tanθ＝＝1，θ∈[0,2π)，由于点在第一象限，∴θ＝，∴点的直角坐标化为极坐标为.1．将直角坐标(x，y)