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1、行列式计算7种技巧7种手段编者:Castelu【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一.7种技巧:【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,
2、使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式T技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=Daaaaaa11121n1121n1aaaaaa21222n1222n2an1an2anna1na2nann技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号a11a12a1na21a22a2na21a22a2na11a12a1nan1an2annan1an2ann技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面b1a11b1a12b1a1na11a12a1nb
3、ababaaaan22122222n21222nbni1bnan1bnan2bnannan1an2ann技巧4:行列式具有分行(列)相加性a11a12a1na11a12a1na11a12a1nbt1ct1bt2ct2btnctnbt1bt2btnct1ct2ctnan1an2annan1an2annan1an2ann技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变....a11a12a1na11a12a1nas1as2asnas1kat1as2kat2asnkatnaaaaaat
4、1t2tnt1t2tnan1an2annan1an2ann技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积a11a1m00a11a1mb11b1nam1amm00c11c1mb11b1nam1ammbn1bnnccbbn1nmn1nn技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理]行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和nnDaikAik(i1,2,,n)akjAkj(j1,2,,n)k1k1二.7种手段:【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只
5、要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算a11a12aaaa,11221221a21a22a11a12a13a21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31a31a32a33手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学软件)a11a12a1na21a22a2n(ppp)定义:(1)12naaa
6、1p12p2npnppp12naaan1n2nn运用数学软件Matlab按定义计算4阶行列式:>>symsabcdefghijklmnop>>A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p]....A=[a,b,c,d][e,f,g,h][i,j,k,l][m,n,o,p]>>det(A)ans=a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*
7、b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g手段3:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式a11a12a1na11000aanaa0n222n2122aii,aii,i1i100aaaannn1n2nn1212n(其余未写出元素均为零),n1n(n1)22(1)12n(其余未写出元素均为零)n手段4:若行列式中有两行(列)对应元素相等,则此行列式的值等于零aaeibbfj0ccgkd
8、dhl手段5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零0aei0bfj00cgk0dhl手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零akaeibkbfj0ckcgkdkdhl....手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式111x1x2
