拆开的魔方的复原

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1、拆开魔方的复原本论文属于:数学的运动群，魔方理论，解题方法。关键词：魔方，运动群，解题方法。作者：程士浚（原铁道部贵阳车辆工厂设备处）魔方不但是一个老少皆宜的智力玩具，而且它和数学、高分子化学、计算机科学有着密切的关系。在玩魔方的时候,有时掉下几块,如随随便便地把它装上,那么魔方就很可能不能复原了。或者说，一个拆开的魔方的复原是不一定能实现的。下面要确定一个拆开后随意组装的魔方不通过试转就想知道它是否能复原的方法。先看看同一类“块”的运动规略。我们把魔方的“块”分为“中心块”、“角块”、“边块”三种

2、。先看看边快到原位的运动。一个打乱的魔方有的边块还在原来的位置，有的不在原来的位置。在原位的块，有的颜色对，有的颜色不对。我们把颜色对的叫做方向对，颜色不对的叫方向不对。在原位的边块方向对的叫做块序数为偶数。方向不对的为奇数。魔方的边块的运动可以用图表示，如图一。图一中有六个独立的四边形，它们分别由支路（1、2、3、4），（5、6、7、8），（9、10、11、12），（13，14，15，16），(17,18,19,20),(21,22,23,24,)组成。一个边块运动前在原位，运动后回到原位，把这叫

3、做边块回到原位的运动。图一边块在回到原位的运动中的步数（边块转动一个90°为一步）为偶数，则方向和运动前相同。为奇数则方向不同。例如△1位边块经过支路1，2，3，4回到原位步数为4，是偶数，方向和原来相同，经过支路1，13，21回到原位的步数为3，是奇数，方向和原来不同。到此可以进一步确立如下概念。边块回到原位的步数为偶数的，回到原位后方向对的，该块的块序数为偶数，反之回到原位后方向不对的块序数为奇数。这是合乎奇偶数加法性质的。用a表示偶数，b表示奇数则有a+a=aa+b=bb+a=bb+b=a一个

4、打乱而且装乱的魔方（但还是这几块）是否一定能复原？大家知道这是不一定能复原的。边块要想复原的条件如下。全部边块块序数的总和为偶数的能复原。为奇数的不能复原。因为每层转动一步是四个边块各走一步，总步数为四，是偶数，所以不管怎样转总步数是偶数。所以各边块都在原位，但装时方向反了两块的能复原。或说方向反了偶数块的能复原，方向反了奇数块的不能复原。所以如各边块方向对，但互为装错的（装错的块数为奇数的，可以再在这几块中找两块互换位置，成为装错奇数块）能复原。但请注意，这里没有讲到是否要影响到角块能否复原。通过

5、实践我们也可以发现，有时虽然全部边块的序数的总和为偶数，但全部边块复原后却使原已复原的角块不能复原了。这是什么道理呢？为了说明问题使魔方不作整体滚动。角块和边块分别编号，角块用阿拉伯数字1、2、3…。边块用小写数字一、二、三…，如图所示。图二复原魔方的1#角块在(1)位上，２＃角块在（２）位上……，用数列１、２、３、４、５、６、７、８表示。当右层转动９０°后，１＃块到（５）位，５＃块到（６）位……。用数列２、6、３、４、１、５、７、８表示，这可以说是经过三次对换实现的。先对换１和５。１２３４５６７８

6、变为５２３４１６７８。再对换５和６，变为６２３４１５７８，再对换２和６，变为２６３４１５７８。根据高等代数排列奇偶性的定理，可知对换改变排列的奇偶性。因为每层转９０°相当于三次对换，所以每层转９０°也改变排列的奇偶性。因为每层都有角块和边块。一个复原的魔方角块和边块的排列开始都是偶排列。经过某层转动后角块的排列和边块的排列仍具有相同的奇偶性。（中间层的转动相当于两側层的反方向转动）。不可能出现一个是偶排列，另一个是奇排列。所以有如下特性：当一个打乱而且装乱的魔方，如果角块的排列和边块的排列不是具有相

7、同的奇偶性就不可能复原。这就回答了上面为什么全部边块复原了而角块不能复原的问题。最后要解决的是角块的复原。角块的到位问题上面已经解决了。只剩下角块的方向问题。一个角块有三个面，也就是有三个方向。规定一：把复原魔方的上面和下面作为八个角块的基准面和魔方的基准面。规定二：角块的基准面和魔方的基准面重合，该角块的方向数为0。角块的基准面顺时针转一下就到魔方基准面的，该块的方向数为二。角块的基准面逆时针转一下到魔方基准面的，方向数为１。当复原魔方转动右+（右边一层逆时针转90°）1#块转到（2）位，1#块的

8、方向数为2，2#块转到（6）位，2#块的方向数为1.6#块转到（5）位6#块的方向数为2.5#块转到（1）位，5#块的方向数为1。根据上面的规定可以得出魔方上下两层转动不改变角块的总方向数。魔方其他各层的转动使角块总方向数以6的倍数增加。魔方转动右+后再转右-（右面一层顺时针转90°），1#块的方向数结果为0.也可以说是2+1。所以角块的方向数是3进位数，只取末位数。即2+1=10，只取末位数0就可以了。　图三图三表示角块运动是其方向数变化的情况。（1）、(2)、(3