克莱因论数学文化

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1、克莱因论数学文化(转自中国数学在线，选自《数学与文化》，张祖贵译，北京大学出版社1990年版)克莱因，美国当代数学家、数学史家、数学教育家，主要著作有《古今数学思想》。数学研究的是现实世界中的数量关系和空间形式，它作为一门基础科学，既广泛应用于技术工程中，又是研究许多理论科学必不可少的工具。然而，由于数学具有高度的抽象性，一般人对它存在着片面的认识。本文开篇就提出了鲜明的观点：“数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。”作者列举了历史上人们对数学的误解，在各个层面上论述

2、了数学在人类文化中的作用，对它的本质和应用作了精要的分析。作者引用怀特海关于“阿基米德死于一个罗马士兵之手”的精彩论述，将数学放在广阔的社会背景中来说明它的文化意义，发人深省。本文文质兼美，作者旁征博引，说理透辟，议论精警。数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素。这种观点在许多人看来是难以置信的，或者充其量来说也只是一种夸张的说法。这种怀疑态度完全可以理解，它是一种普遍存在的对数学实质的错误概念所带来的结果。由于受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或

3、许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。当有人对这种状况提出异议时，某些饱学之士可以得到权威们的支持。圣?奥古斯丁〔圣?奥古斯丁(354?430)〕基督教神学家、哲学家，北非希波主教。生于北非塔加斯特(现在阿尔及利亚的苏克阿赫腊斯)。他的神学体系5至12世纪在西欧基督教会中占统治地位。主要著作有《上帝之城》《预定论》《论三位一体》等。他说过：“好的基督徒应该提防数学家和那些空头许诺的人。这样的危险已经存在，数学家们已经与魔鬼签订了协约，要使精神进入黑暗，把人

4、投入地狱。”古罗马法官则裁决“对于作恶者、数学家诸如此类的人”，应禁止他们“学习几何技艺和参加当众运算像数学这样可恶的学问”。叔本华〔叔本华(1788?1860)〕19世纪德国哲学家，惟意志论的创始人。认为人生就是苦难。他对科学研究评价不高，认为科学研究是为了满足物质欲望。，这位在现代哲学史上占有重要地位的哲学家，也把算术说成是最低级的精神活动，他之所以持这种态度，是基于算术能通过机器来运算这一事实。由于学校数学教学的影响，这些权威性的论断和流行的看法，竟被认为是正确的!但是一般人忽视数学的观点

5、仍然是错误的。数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。因此，让我们看一看20世纪人们对这门学科的态度。首先，数学主要是一种寻求众所周知的公理法思想的方法。这种方法包括明确地表述出将要讨论的概念的定义，以及准确地表述出作为推理基础的公理。具有极其严密的逻辑思维能力的人

6、从这些定义和公理出发，推导出结论。数学的这一特征由17世纪一位著名的作家在论及数学和科学时，以某种不同的方式表述过：“数学家们像恋人……承认一位数学家的最初的原理，那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结论，从这一结论又推导出其他的结论。”仅仅把数学看作一种探求的方法，就如同把达?芬奇〔达?芬奇(1452?1519)〕意大利文艺复兴时期的美术家、科学家、工程师。绘画代表作有《最后的晚餐》《蒙娜丽莎》等。《最后的晚餐》看作是画布上颜料的组合一样。数学也是一门需要创造性的学科。在预测能被证明的内容时

7、，和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的直觉和想像。例如，牛顿和开普勒〔开普勒(1571?1630)〕德国物理学家、天文学家，提出了行星运动的三大定律。就是极富于想像力的人，这使得他们不仅打破了长期以来僵化的传统，而且建立了新的、革命性的概念。在数学中，人的创造能力运用的范围，只有通过检验这些创造本身才能决定。有些创造性成果将在后面讨论，但这里只需说一下现在这门学科已有八十多个广泛的分支就够了。如果数学的确是一种创造性活动，那么驱使人们去追求它的动力是什么呢?研究数学最明显的、尽管不一定是最

8、重要的动力是为了解决因社会需要而直接提出的问题。商业和金融事务、航海、历法的计算、桥梁、水坝、教堂和宫殿的建造、作战武器和工事的设计，以及许多其他的人类需要，数学能对这些问题给出最完满的解决。在我们这个工程时代，数学被当作普遍工具这一事实更是毋庸置疑。数学的另外一个基本作用(的确，这一点在现代特别突出)，那就是提供自然现象的合理结构。数学的概念、方法和结论是物理学的基础。这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度。数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一