教育论文对极限思想的辩证理解

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2、、量变与质变、否定与肯定的对立统一。　　[关键词]极限思想辩证对立统一　　　　恩格斯说：“数学，辩证的辅助工具和表现形式。”数学中蕴涵着丰富的辩证思想，无论是在规律的发现过程中、猜想的获得过程中或在概念的形成过程中，无一不包含着辩证的成分。如分解与组合（或局部与整体）、运动与静止、特殊与一般、相对与绝对、有限与无限、量变与质变、具体与抽象、数与形等。在数学学习中，充分挖掘并认真领会辩证思想因素，对深入理解数学知识、完善思维结构、优化思维品质、提高数学素养、形成科学人生观都有十分重要的作用。　　极限思想是一种重要的数学思想，它蕴涵着丰富的辩证思想。所谓

3、极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象（如圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形的面积等）看作是某对象（内接正边形的面积、匀速运动的物体的速度、小矩形面积之和）在无限变化过程中变化结果的思想，它出发于对过程无限变化的考察，而这种过程总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果有关。它不仅包括极限过程，而且又完成了极限过程。也就是说，它不仅是一个不断扩展式的“潜无穷”过程，又是完成了的“实无穷”，因此是“潜无穷”与“实无穷”的对立统一体。它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”（恩格斯语）的一种运动辩证思想。　　由于极限思想中

4、蕴涵着丰富的辩证思想，理解极限思想时必须把单一、封闭、静态的形式逻辑思维提高到多维、开放、动静态相结合的辩证逻辑思维。以下是笔者对极限思想的辩证理解。　　　　一、极限思想是过程与结果的对立统一　　　　在极限思想中充分体现了结果与过程的对立统一。比如，当n趋于无穷大时，数列｛an｝的极限为a。此时，数列｛an｝是变量，a是变化过程an的变化结果。一方面，数列｛an｝中任何一个an，无论n再大都不是a，体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着过程的进行（即n无限地增大），an越来越靠近a，经过飞跃又可转化为a，体现了过程与结果的统一性。所以

5、，a的求出是过程与结果的对立统一。　　　　二、极限思想是有限与无限的对立统一　　　　有限与无限常常表现为不可调和性，例如，把有限情形的法则原封不动地扩展到无限的情形常常会发生矛盾。但这并不意味着在极限的观念里有限与无限是格格不入的，相反，它们却存在着既对立又统一的关系。例如，在极限式中数列的每一项an和极限结果a都是一有限量，但极限过程却是无限的。从左向右看，随着n的无限增大，给定数列｛an｝的对应值向a作无限逼近运动，这说明这个无限运动的变化过程只能通过有限的量来刻画。从右向左看，该极限式是在有限中包含着无限。　　　　三、极限思想是变与不变

6、的对立统一　　　　变与不变是客观事物存在的两种形态。不变是相对的，变是绝对的。在极限式中，a是一个与n无关的不变量，an则是一个随着n的增大，其对应值不断发生变化的变量。无论n增大到怎样的数值，a都不可能变为常量a，这说明变量an与常量a存在着一种变与不变的质的对立关系。同样地，它们之间也体现了一种互相联系互相依赖的关系。随着n的不断增大，变量an趋向于a的程度也相应地不断增大，最终当n→∞时，an产生了质的飞跃转化为了常量a，体现了变与不变的质的统一关系。　　　　四、极限思想是近似与精确的对立统一　　　　在极限

7、式中，对于每一个具体的n，式子的左边总是右边的一个近似值，并且n越大，精确度越高。另外，定积分作为一种和式的极限，就是利用了近似与精确这对矛盾的转化，用有限和代替了极限值。　　　　五、极限思想是多样性与统一性的对立统一　　　　统一性与多样性是一个既对立又统一的矛盾体。在极限思想中便充分体现了这种辩证思想。在极限式中，随着序列｛an｝的不同，它趋于极限的过程也杂乱纷呈。从数轴上看，an既可以从点a的左边，也可以从点a的右边趋于a，还可以时而在点a的左边，时而在点a的右边。另外，趋于a的速度也有很大差别。但是，不管过程

8、本身如何复杂，它们总有一个共同之处：｜an-a｜越来越小。不管预先指定一个