高考数学综合能力题30讲第13讲复数与三角函数

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1、数学高考综合能力题选讲13复数与三角函数北京中国人民大学附中题型预测复数与三角有着极为密切的关系，将二者融合在一起考查，历来为命题者所青睐．考查的题型往往结合辐角主值、积化和差、和差化积公式等命制．范例选讲例1已知，且，，求的值．讲解：由于涉及到辐角主值与模，所以，不妨将写成三角形式．由，且，所以，．又，，所以，，．又，所以．又由可知：，所以，．所以，．点评：本题的突破口在于对，的处理．由于分别涉及到角α，β，且互不相关，所以只需将分别化为三角形式即可．例2已知复数满足，且，求的值．讲解：设复数的三角形式去解本题是常规思路．设，因为，所以，和差化积，得，所以，．所以，．点评：如果注意到

2、模为1的复数的特性：，则由可得：，即，也即．所以，．例3已知．（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值．（2）若，求（用表示）．讲解：（1）所以，当时，取最大值．（2）要求，可以把写成三角形式，但较为困难，故可先求出的正切值．设=α，则由于=所以，．因为，所以，的实部=〉0，的虚部=．当时，<0，Z所对应的点位于第四象限．由于，所以，=α．当时，≥0，Z所对应的点位于第一象限（或x轴正半轴）．由于，所以，=α．点评：正确解答本题，一要注意到辐角主值的范围，二要注意到正切函数在上并非单值函数，三要正确运用诱导公式．高考真题1．设复数z＝3cosθ＋2isinθ,求函数y＝θ－argz(

3、0＜θ＜的最大值以及对应的θ值．2．已知复数，（Ⅰ）求及；（Ⅱ）当复数满足，求的最大值．[答案与提示：1．当θ=arctan时，y取得最大值arctan；　2．（Ⅰ）=，=；（Ⅱ）的最大值为+1．]