高考数学圆锥曲线综合题

高考数学圆锥曲线综合题

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1、难点25圆锥曲线综合题圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整.●难点磁场(★★★★)若椭圆=1(a>b>0)与直线l:x+y=1在第一象限内有两个不同的交点,求a、b所满足的条件,并画出点P(a,b)的存在区域.●案例探究[例1]已知圆k过定点A(a,0)(a>0),圆心k在抛物线C:y2=2ax上运动,MN为

2、圆k在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化?(2)当

3、OA

4、是

5、OM

6、与

7、ON

8、的等差中项时,抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系?命题意图:本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:弦长公式,韦达定理,等差中项,绝对值不等式,一元二次不等式等知识.错解分析:在判断d与R的关系时,x0的范围是学生容易忽略的.技巧与方法:对第(2)问,需将目标转化为判断d=x0+与R=的大小.解:(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,圆k的半径R=

9、AK

10、=∴

11、MN

12、=2=2a(定值)∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.(2)

13、设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中,令x=0,得y2-2y0y+y02-a2=0∴y1y2=y02-a2∵

14、OA

15、是

16、OM

17、与

18、ON

19、的等差中项.∴

20、OM

21、+

22、ON

23、=

24、y1

25、+

26、y2

27、=2

28、OA

29、=2a.又

30、MN

31、=

32、y1-y2

33、=2a∴

34、y1

35、+

36、y2

37、=

38、y1-y2

39、∴y1y2≤0,因此y02-a2≤0,即2ax0-a2≤0.∴0≤x0≤.圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a.且上两式不能同时取等号,故圆k必与准线相交.[例2]如图,已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右

40、的顺序为A、B、C、D,设f(m)=

41、

42、AB

43、-

44、CD

45、

46、(1)求f(m)的解析式;(2)求f(m)的最值.命题意图:本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.属★★★★★级题目.知识依托:直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值.错解分析:在第(1)问中,要注意验证当2≤m≤5时,直线与椭圆恒有交点.技巧与方法:第(1)问中,若注意到xA,xD为一对相反数,则可迅速将

47、

48、AB

49、-

50、CD

51、

52、化简.第(2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法.解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c,则a2=m,b2=

53、m-1,c2=a2-b2=1∴椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.∴A(-m,-m+1),D(m,m+1)考虑方程组,消去y得:(m-1)x2+m(x+1)2=m(m-1)整理得:(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0Δ=4m2-4(2m-1)(2m-m2)=8m(m-1)2∵2≤m≤5,∴Δ>0恒成立,xB+xC=.又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上∴

54、AB

55、=

56、xB-xA

57、==(xB-xA)·,

58、CD

59、=(xD-xC)∴

60、

61、AB

62、-

63、CD

64、

65、=

66、xB-xA+xD-xC

67、=

68、(xB+xC)-(xA+xD)

69、又∵

70、xA=-m,xD=m,∴xA+xD=0∴

71、

72、AB

73、-

74、CD

75、

76、=

77、xB+xC

78、·=

79、

80、·=(2≤m≤5)故f(m)=,m∈[2,5].(2)由f(m)=,可知f(m)=又2-≤2-≤2-∴f(m)∈[]故f(m)的最大值为,此时m=2;f(m)的最小值为,此时m=5.[例3]舰A在舰B的正东6千米处,舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米,它们准备捕海洋动物,某时刻A发现动物信号,4秒后B、C同时发现这种信号,A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度为1千米/秒,炮弹的速度是千米/秒,其中g为重力加速度,若不计空气阻力与舰高,问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少?命题意图:

81、考查圆锥曲线在实际问题中的应用,及将实际问题转化成数学问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:线段垂直平分线的性质,双曲线的定义,两点间的距离公式,斜抛运动的曲线方程.错解分析:答好本题,除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上,又在以A、B为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚.技巧与方法:通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位,一般可利用声音

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