北京大学附属中学河南分校2015-2016学年高二（宏志班）上学期抽考数学理科试题带答案

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1、宇华教育集团2015-2016学年（上）宏志班联考（2）高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列结论正确的个数是（）①若，则；②命题“，”的否定是“，”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件．A．个B．个C．个D．个2.复数为纯虚数，若（为虚数单位），则实数的值为（）A．B．C．D．3.锐角三角形中，、、分别是三内角、、的对边，设，则的取值范围是（）A．B．C．D．4.已知数列的通项（），我们把使为整数的叫做优数，则在内所有优数

2、的和为（）A．B．C．D．5.已知实数，满足不等式组，则关于的方程的两根之和的最大值和最小值分别是（）A．，B．，C．，D．，6.已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．B．C．D．7.记是等差数列的前项和，是等比数列的前项的积，设等差数列的公差，若对于小于的正整数，都有成立，则推出，设等比数列的公比，若对于小于的正整数，都有成立，则（）A．B．C．D．8.设，若函数，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．9.用数学归纳法证明：“”．从“到”左端需增乘的代数式为（）A．B．C．D．A．B．C．D．11

3、.已知函数的定义域为，且满足，，则下列结论正确的是（）A．有极大值无极小值B．有极小值无极大值C．既有极大值又有极小值D．没有极值12.设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.已知点到点和的距离相等，则的最小值为．14.已知函数（），其中，若函数在定义域内有零点，则实数的取值范围是．15.设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为．16.设变量，满足，若的最大值是，则实数的值为

4、．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）命题存在实数，；命题对任意恒成立．若或为真，且为假，试求的取值范围．18.（12分）已知数列的前项和（），数列的前项和（）．（1）求数列的前项和；（2）求数列的前项和．19.（12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，．（I）求证：；（II）求二面角的余弦值．20.（12分）已知椭圆（）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（I）求椭圆的方程；（II）设为椭圆上一点，若过点的直线与

5、椭圆相交于不同的两点和，满足（为坐标原点），求实数的取值范围．21.（12分）（1）设，，证明；（2）设，证明．22.（12分）已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，都有解，求的取值范围；（3）若，试证明：对任意，恒成立．宇华教育集团2015-2016学年（上）宏志班联考（2）高二数学答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1B2A3D4C5A6C7B8A9B10B11D12A二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20

6、分，将答案填在答题纸上）13141516三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、（10分）解：真：或………………2分真：………………4分易知，一真一假………………6分真假：，假真：………………8分故………………10分18、（12分）解：（1）………………2分………………4分………………8分（2）………………12分19、（12分）（I）证明：取的中点，连接，，．，．………………1分又四边形是菱形，且是等边三角形，．………………2分又，平面，又平面，………………4分（II）由，，易求得，，，．………………5

7、分以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．………………6分设平面的一个法向量为，则，，，，，．………………8分设平面的一个法向量为，则，，，，，．………………10分，且二面角为钝角二面角的余弦值为．………………12分20、（12分）（I）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的方程为，圆心到直线的距离（）………………1分椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，（II）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，将直线方程代入椭圆方程得：，，．设，，则，，………………6分由，当时，直线为轴，点

8、在椭圆上适合题意；………………7分当，得，．………………8分将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，，………………10分所