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1、均值不等式在最值问题中的应用及技巧【摘要】均值不等式是高中数学的重要内容,求最值的问题一直都是高考试题中的一个热点，不难发现关于最值的问题大多数都能转化为解不等式的问题。运用均值不等式解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的数学应用问题,具有极为重要的意义。【关键词】均值不等式，最值，应用引言如果是正数,那么，当且仅当时取“=”号，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，这个不等式,我们通常把它称为均值不等式。对均值不等式的深刻理解和掌握,弄清楚其运用条件,便能在解题中快速找到突破口,进而找到正确解决问题的方法。使用均值不等式的条件可以归纳为三
2、条，条件一:在所求最值的代数式中,各变数都是正数,否则变号转换;条件二:各变数的和或积要为常数,以确保不等式的一端为定值,否则执行拆项或添项变形;条件三:各变数必须有相等的可能。简称：一正，二定，三相等。一个题目同时满足上述三个条件,或者可以变形成适合以上条件的,便可使用均值不等式。例如：若实数满足，则的最小值是？解：∴当且仅当时，等号成立∴的最小值是18。一、均值不等式的相关结论对a>0,b>0,作进一步研究,显然有,又由于等价的均值不等式因此,对于a>0,b>0,有三个重要结论:① ②; ③6当且仅当a=b时,上面三式取等号,这三个式子虽然是由均
3、值不等式推广而得,但掌握并应用于解题之中,有时候比均值不等式更有效,起到事半功倍的效果。下面举几个例子予以说明:例1:已知a≥0,b≥0,a+b=1,求代数式的最大值解:由②得。故满足条件的最大值是。例2:已知a>b>0,求的最小值。解:由①式得,所以,故的最小值是16。例3:若a+b+c=1,且a,b,c∈,求的最小值。解:由③式得所以≥=例4:一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大的面积是多少?解:设矩形的长为x,则宽为，于是,菜园面积为:当且仅当x=L-x,即时取等号。这时宽为故这个菜园的
4、长为,宽为时,菜园面积最大,最大面积是二、均值不等式的拓展以上所谈均值不等式,都是针对两个正数而言,推广到任意的n个正数(i=1,2⋯n)也有均值不等式当且仅当时取等号,6在中学教材中,大都是用两个正数的均值不等式,有时也用三个正数的均值不等式,其不等式形式为:已知a,b,c为正数,则,该式的证明在高二教材有说明,其应用条件仍与两个正数的均值不等式的三个条件相同。有些问题,表面只给出两个正数,需要巧妙地拆开部分项,形成三个或者三个以上的正数,才能凑成这些正数的“和”或“积”为定值,再用多个正数的均值不等式求解。下面举个例子说明：例5:已知xy>0=2
5、,求的最小值,并求x,y的值。解：当且仅当,即y=2x时,上式取等号。故取最小值是3。由解得即当x=1,y=2时,取得最小值3.三、注意使用均值不等式的条件：“一正、二定、三相等”，三者缺一不可（1）注意“正数”（化负为正）例6、求函数的值域.误解：（当且仅当时取等号），所以值域为.这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是.例7 已知00,∴,即y
6、≤-4.当且仅当即6时等号成立,故（1）注意“相等”例8、设，求函数的最小值.误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有.这里的错误是没有考虑等号成立的条件.显然要，这样的不存在，故导致错误.此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数.正确解法：.所以.（3）注意“定值”例9、已知.误解：，.以上过程只能说明当.但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果.正确解法：，所以仅当.四、运用均值不等式解题的变形技巧不等式是高中数学的重要内容,均值不等式是不等式进行变形的一个重要依据,
7、在应用时不仅要牢记三个条件“正、定、等”,而且要善于根据均值不等式的结构特征,创设应用均值不等式的条件。利用均值不等式解题的关键是凑“定和”和“定积”，此时往往需要采用“拆项、补项、平衡系数”等变形技巧找到定值，再利用均值不等式来求解，使复杂问题简单化，收到事半功倍的效果!（1）拆项例10（原人教版课本习题）已知n>0,求证：6证明：因为n>0，所以当且仅当n=2时等号成立!（2）拆幂例11(1993年全国高考题）如果圆柱轴截面的周长为定值，那么圆柱体积的最大值（）A．B.C.D.解设圆柱底面半径为r，高为h，则2h+4r=，即所以，故选A.（3）升
8、幂例12设，求的最大值.解因为，所以≥0，所以所以当且仅当即tanx=时等号成立，故.（4）整体代换例13已
