基于共形映射法求解挠度

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1、应用复分析课程设计——基于共形映射法求解挠度1基于共形映射法求解挠度摘要为了克服传统的分析求解挠度的方法-----几何方法（面矩法，共轭梁法）和能量法（虚功法，卡氏定理），因此我们采用了基于保角映射法求解挠度的方法。此种方法更加精确。首先用解析方法（包括傅里叶展开式、留数定理）求解出保角映射函数，再用此映射函数求得渐开线直齿轮轮齿挠度的解，对影响挠度的因素进行了简要分析。关键词：保角映射函数；渐开线直齿轮；轮齿挠度。引言应用平面弹性理论的复变函数保角映射法求解齿轮轮齿挠度，由日本学者首先提出，由试算法得到，计

2、算复杂，映射精度难以保证。后国内学者程乃士等用计算机求得挠度，但求解方法仍属于数值回归法，且求解受到初值影响。本文沿袭盛行的解析法，计算简单映射精度更高。相关词条的物理解释应力当材料在外力作用下不能产生位移时，它的几何形状和尺寸将发生变化，这种形变称为应变（Strain）。材料发生形变时内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力，定义单位面积上的这种反作用力为应力（stress）。挠度结构构件的轴线或中面由于弯曲引起垂直于轴线或中面方向的线位移。弹性模量定义为理想材料有小形变时应力与相应的应变之比。泊松比

3、泊松比是材料横向应变与纵向应变的比值，也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。1、基本公式及其简单推导（1）位移公式求解如下图所示，设()为将Z平面齿轮边界围成的域D映射为平面的下半平面域的映射函数，因为用复变函数方法解平面弹性力学问题的时候，Airy应力函数的表示为_U=Re[zψ1(z)+θ1(z)]2_式中ψ1(z)和θ1(z)是z(z=x+iy,z=x-iy)的两个解析函数因此轮齿位移的复变函数表示为3-1'u+iv=ψ1(z)-[z(z)+(z)]（1）11EE'式中ψ1

4、(z)=(z)；E为弹性模量；为泊松比，对于平面应变问题，式中E用12E/（1-）代替，用/（1-）代替。所以，此时问题集中于求应力函数的两个解析函数(z)和(z)使其满11足边界条件。下面根据集中力作用点分情况进行讨论1当集中力作用于半平面域的边界上，且作用点为原点时XiYXiY(z)=-lnz，(z)=lnz1122X=Pcos，Y=Psin2当集中力作用于边界上任意点Z0时，由坐标平移的XiY(z)=-ln（z-z0），12XiYXiYz(z)=ln（z-z0

5、）+*122zz03保角映射把持性边界映射C映射为虚轴，采用下面形式的映射函数nmZ==m0-1a其中适当的选择m0,mj,aj,就能得到精确度很高的齿形。4与的映射关系()=(z)=[()],()=(z)=[()]1111因此得XiY()=-ln[()-(r)]2XiYXiY()()=ln[()-(r)]+*22()(r)3因为工程上是没有理论上的集中力的，所以我们需要把和分成非解析部分0**和及解

6、析部分和两部分0由文献[1]，通过求极限我们有设A和B到的距离为rA和rB，则*()**XiY()()[()+(-)+(-)]+[-]=0'''()2()()()()下面的解满足上面方程()XiY()()()()*()0(2)()2()()()()利用在复分析中的Cauchy积分1d1()d1d*()*()

7、*()2i2i()2i1XiY()d1XiY()d02i2()()2i2()()当函数f(z)在扩充复平面上仅有有限个孤立奇点：a,a,,a,a,12n1nnResajf(z)0.j1用此分析上式的每一项，故1XiY()1d02i2()即1()d*()()2i()再通过对(2)式取共轭

8、()XiY()()()()*()0()2()()()()4对上式取Cauchy积分，经过化简得*1()dXiY()1()()2i()2()将上面的式子代入(1)得到位移表达式为31()uiv()()()(