《复变函数》重点难点

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1、重点难点第一篇复变函数论 本篇重点：解析函数、复变函数的积分与留数定理.本篇特色：通过一典型环路积分，将各章节有机联系起来，使复变函数理论成为一个系统的有机整体，并加强了各部分内容之间的相互联系.注重培养创新思维、计算机仿真和解决实际问题的能力.. 第一章复数与复变函数本章重点：复数的基本知识和复变函数区域的基本概念及其判断方法；复变函数连续和极限的概念；区域概念及其判断；复变函数的极限和连续。本章难点：涉及到计算机编程实践,以培养读者的计算机仿真能力.读者可以利用Matlab,Mathcad,Mathmatic等数学工具软件直接进行复数及复变函数的基本运

2、算,详细参考第四篇：计算机仿真编程实践部分本章知识点摘要：1.复数的概念定义形如的数为复数，记作.其中、分别称为复数的实部、虚部，记作，，称为虚数单位，它满足.与实数不同，两个复数之间一般不能比较大小.2.复数的表示法（1）几何表示：对于复数可以用平面上起点在，终点在的矢量（或向量）表示；（2）代数表示：对于平面上的点可用代数形式表示复数，这种表示法称为代数表示，也可称为直角坐标表示；（3）三角表示：当时，复数可用三角函数形式表示.其中称为复数的模；（取整数）称为的辐角.当时，对应于辐角的主值，在本书中规定为；3.复数的运算（1）复数满足常规的四则运算规律

3、.（2）若，，则（3）方根：设，则关于复数的模和辐角有以下运算公式；4.区域和平面曲线本章我们给出了系统的有关区域和平面曲线的概念.（1）区域：严格的定义是指同时满足下列两个条件的点集D：(i)全由内点组成；(ii)具有连通性:即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线上的点全都属于该点集；满足这两个条件的点集D称为区域.连通的开集称为区域，区域与它的边界一起构成的点集称为闭区域.区域可分为有界区域和无界区域，区域还有单连通区域与复连通区域之分.（2）简单曲线:没有重点的连续曲线,称为简单曲线.简单闭曲线:如果简单曲线的两个端点重合，则称为简单闭曲

4、线.5.复变函数极限与连续函数的极限等价于两个二元实函数和的极限.函数在点处的连续性等价于两个二元实函数和在该点的连续性.解题思路:例研究什么原像通过映射后变为相互垂直的直线.【解】由，可以视为从xy平面到平面的映射，即为从z平面(原像)到平面（像）的映射，易得我们具体考察在平面的像为相互垂直的直线,原像应该是什么？由题得到　　　　　　　　　　　即有显然原像为双曲线，如图1.11(a)实线所示；即有显然原像为双曲线，如图1.11(a)虚线所示.另外我们还可以进一步观察双曲线对应的变化关系.特别地，当原像点在如图1.11(a)的双曲线右分支实线上时，由且，得

5、到，.因此双曲线的右分支的像可以表示为参数形式：　　　　很明显，当点沿着右分支实线向上运动时，它的像如图1.11(b)沿直线向上运动.同样，双曲线左分支的像的参数形式表示为当左分支上的点沿曲线向下运动时，它的像也沿直线向上运动.同样地可以分析：另一双曲线映像到直线.变化趋势如图1.11(a),(b)虚线所示，读者可自行分析.重点难点第二章解析函数 重点：复变函数导数的定义、求导法则及可微性概念；解析函数的概念；保角映射的概念；常用的初等解析函数；解析函数与调和函数的关系难点：多值函数产生多值性的原因；如何找出支点以及在什么样的区域内多值函数可以划分为单值的

6、解析分支；从几何意义上描述解析函数的特征.特色：（Matlab，Mathcad，Mathmatic）编程计算简单的复数方程 本章知识点摘要：1.复变函数的导数与微分复变函数的导数定义在形式上和一元实函数的导数定义是类似的：微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微是等价的，.2.解析函数的概念解析函数是复变函数中一个十分重要的概念，它是用复变函数的可导性来定义的，若在及其一个邻域内处处可导，则称在解析.函数在某一点可导，在这点未必解析，而在某一点解析，在这点一定可导.函数在一个区域内的可导性和解析性是等价的.3.柯西－黎曼条件方程复

7、函数的解析性除了要求其实部和虚部的可微性外，还要求其实部和虚部满足柯西－黎曼方程（即C-R方程）.函数在区域D内解析在D内可微，且满足C-R条件：.4.关于解析函数的求导方法(1)利用导数的定义求导数(2)若已知导数存在，可以利用公式求导.5初等复变函数初等复变函数的解析性：初等函数解析性的讨论是以指数函数的解析性为基础的，因此在研究初等解析函数的性质时，都可归结到指数函数来研究.6解析函数与调和函数的关系区域D内的解析函数的实部和虚部都是D内的调和函数.要想使得在区域D内解析，和还必须满足C-R条件.因此若己知一调和函数，可由它构成某解析函数的实部（或虚

8、部），并可相应地求出该解析函数的虚部（或实部），从而求出该解析函数