hardy-hilbert积分不等式的改进

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1、Hardy-Hilbert积分不等式的改进第24卷第4期2008年8月大学数学C0LLEGEMATHEMATICSVo1.24,No_.4Aug.2008Hardy—Hilbert积分不等式的改进沈家梅,高明哲(吉首大学师范学院数学与计算机科学系,湖南吉首416000)[摘要]通过引入带参数的指数积分并利用Bernoulli不等式以及改进了的H61der不等式,对Hardy—Hilbert积分不等式作了有意义改进.特别,当P一2时,得到了经典的Hilbert积分不等式的一个很强的结果.[关键词]Hardy—Hilbert积分不等式;Bernoull

2、i不等式;指数积分;H61der不等式;权系数[中图分类号]O178[文献标识码]A[文章编号]1672—1454(2008)04—0117—051引言议-,()∈L'(0,十),g()∈L(0,十∞),则』』dd<丌(』:厂cd)(』gcd).c.不等式(1.1)称为Hilbert积分不等式(见[1]).1925年,Hardy—Riesz通过引入(,g)参数(p>l,1p+1q1),将(1.1)推广为如下不等式:舭<(fo)dx)i?2(1.2)称为Hardy—Hilbert积分不等式.(1.1)和(1.2)在分析学中有重要的应

3、用.本文的目的是对(1.1)和(1.2)给出一种新的改进.为方便起见,我们先介绍一些符号:)'llfllfgfgdx=(』f)dxoo1/.(,)=I()(),ll=II()).√,J特别地,我们把ll-厂ll:简记为ll-厂ll,一m;ns,2引理为了证明我们的主要结果,我们需要下列引理.引理1设-厂(),g()>()-1+1q一1且p>1.如果.<llfll<+Cx3,.<llgll<+Cx3,那么(-厂,g)<_l-厂llg(1--mR),(2.1)其中R=(s(-,',^)一S(g,^)),llhl

4、I一1,且f,g,h线性无关.[收稿Et期]2006—05—19118大学数学第24卷证首先考虑p=/=q的情形,不失一般性,设p>q>l?因为古+吉一1,我们有p>2.令R一号?Q一,～~11R1.,1—1.由HOlder不等式得'(厂,g)一If(x)g(x)dx=I(厂?g)g卜dx≤(-fc,?g一dz)"?(Iocg一,一.dz).一(厂,g)?llg卜.(2.2)不等式(2.2)中等式成立当且仅当尸与g线性相关.事实上,(2.2)中等式成立当且仅当(厂?gq/P)一c(g卜).,容易算出fp一cgq.在文[4]中作者利

5、用Gram矩阵的正定性建立了下列重要不等式:(F,G)≤llFllllGll一(1lFllz—llGll)=llFllllGll(1—),(2.3)其中一(一),而z一(G,y),一(F,y),且IIrll一1,z≥0.不等式(2.3)中等式成立当且仅当F与G线性相关,或者y是F和G的线性组合,且xy一0,但z≠.如果不等式(2.3)中的F,G和y分别用厂,和h代替,可得到(厂,g)≤ll厂?llgIl;(1--R),(2.4)其中R一(Sp(厂,^)一S(g,^)).不等式(2.4)中等式成立当且仅当广与g线性相关,或者h是,和的线性组合,且(厂

6、,^)(g,^)一0.但(fp,^)≠(g,^).因为尸,gq,h线性无关,所以在(2.4)中不能取等号,把(2.4)代入(2.2)中,化简,得(厂,g)<Il厂?llgIl(1--R)一.只要适当的选取h,就可使R≠0(关于h的选取有很大的灵活性,它只要满足条件llhll一1就行,具体选法参看文献[3,4]等).因为0<R<1,0<-~--<1,由Bernoulli不等式知(1一R)一<(1一).注意到户与q的对称性,因此,不等式(2.1)成立.再考虑当户一q一2的情形,由题设知f,g,h线性无关,根据(2.3

7、)可得(厂,g)<IIfII?IIgIIf1一).(2.5)其中y一(一),II^II_1.综上所述,引理1成立.引理2设P(z)一Jo,E(z)是由下式所定义的指数积分(指数积分的定义见[5]):E(z):f..dz'(0<z<+..),(2.6)J1UP(z)一eE(z)(0<z<+..),(2.7)e(z)一-f..0一t-『..IU).3s3s3可见关系式(2.7)成立.3主要结果定理1设厂(z),g(z)≥.,fEL(.,+cx3),g∈L(.,+cx3).如果+q一1,户>1,则-f-fdzd<

8、sir_K(foff(x)dx)(foga(x)dx)ic一R,c3.P第4期沈家梅,等:Hardy—Hilbert积分不