测量凸透镜焦距三种方法的误差比较

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1、测量凸透镜焦距三种方法的误差比较文／林遂弟　　在中学高中教材中，介绍了测量凸透镜焦距的三种测量方法，即平面镜法、公式法、共轭法．用这三种方法测量凸透镜焦距的误差大小如何呢？利用高等数学的微积分知识和函数的泰勒公式，可以对这三种测量方法的误差大小进行比较．　　一、误差传递的一般公式　　设有函数ｙ＝ｆ（ｘ１，ｘ２，……ｘｎ），间接测量量ｙ由各直接测量值ｘ１，ｘ２，……，ｘｎ所决定，若直接测量量的偶然误差分别为Δｘ１，Δｘ１，……，Δｘｎ，它们使ｙ产生的误差为Δｙ，则有　　ｙ＋Δｙ＝ｆ（ｘ１＋Δｘ１，ｘ２＋Δｘ２，……，ｘｎ＋Δｘｎ），式中Δｘ１，Δｘ２，

2、……，Δｘｎ的正负具有偶然性，根据泰勒级数展开式并略去高次项后可得　　ｙ＋Δｙ＝ｆ（ｘ１，ｘ２，……ｘｎ）＋（ｆ／ｘ１）Δｘ１＋（ｆ／ｘ２）Δｘ２＋……＋（ｆ／ｘｎ）Δｘｎ，由此可得ｙ的绝对误差为　　Δｙ＝（ｆ／ｘ１）Δｘ１＋（ｆ／ｘ２）Δｘ２＋……＋（ｆ／ｘｎ）Δｘｎ．　①　　这就是误差传递的一般公式．　　二、测量凸透镜焦距的三种方法及误差　　1．平面镜法（或叫自准法）　　在白灯前放一带有箭形缝隙的物屏，被照亮的箭矢作为光源（即“物”），在凸透镜的另一侧放上平面镜，并调整使物屏、凸透镜、平面镜三者共轴，使平面镜反射回来的光线在物屏的箭矢旁边形成一清

3、晰的、与物等大的倒立实象，这时用刻度尺测出凸透镜到物屏间的距离ｘ即为凸透镜的焦距ｆ．用这种方法测出的凸透镜的焦距ｆ的绝对误差为　　Δｆ＝Δｘ．　②　　2．透镜公式法（也称物距像距法）　　将凸透镜放在物屏和像屏之间，调节并使它们共轴，各置物屏、凸透镜于某一位置，适当调节它们之间的距离，移动像屏使像屏出现箭失清晰的倒立的实象，测出物距ｕ和像距ｖ，代入凸透镜公式，有　　1／ｕ＋1／ｖ＝1／ｆ，即　ｆ＝ｕｖ／（ｕ＋ｖ）．设物距ｕ和像距ｖ的直接测量的误差分别为Δｕ和Δｖ，根据①式可得，用这种方法测的凸透镜的焦距ｆ的绝对误差为　　Δｆ＝（ｆ／ｕ）Δｕ＋（ｆ／ｖ）

4、Δｖ　　　　＝［ｖ２／（ｕ＋ｖ）２］Δｕ＋［ｕ２／（ｕ＋ｖ）２］Δｖ　③　　3．共轭法（或称贝赛尔法）　　将物屏与像屏位置固定，使它们之间的距离Ｌ超过ｆ的四倍，凸透镜置于物屏与像屏之间，并调节使它们共轴，移动凸透镜，则可找到凸透镜在两个位置能使得像屏上出现清晰的像，一次成放大的像，一次成缩小的像，测出这两个位置间距离ｄ和物屏与像屏间的距离Ｌ，代入透镜成像公式，有　　ｆ＝（Ｌ２－ｄ２）／4Ｌ．设Ｌ和ｄ直接测量的误差分别为ΔＬ和Δｄ，根据①式可得，用这种方法测得凸透镜的焦距ｆ的绝对误差为　　Δｆ＝（ｆ／Ｌ）ΔＬ＋（ｆ／ｄ）Δｄ　　　　＝［（Ｌ２＋ｄ２）／

5、4Ｌ２］ΔＬ－（ｄ／2Ｌ）Δｄ．　④　　三、三种测量方法的误差比较　　在相同实验条件下，各直接测量值ｘ，ｕ，ｖ，Ｌ、ｄ的误差Δｘ、Δｕ、Δｖ、ΔＬ、Δｄ可认为是相同的，因此都把它们记为Δｘ，则③式表示为　　Δｆ＝［（ｕ２＋ｖ２）／（ｕ＋ｖ）２］Δｘ，　⑤④式可表示为　　Δｆ＝［（Ｌ－ｄ）２／4Ｌ２］Δｘ，　⑥因为总有　ｕ＞0，ｖ＞0，则　　Δｘ／2≤［（ｕ２＋ｖ２）／（ｕ＋ｖ）２］Δｘ＜Δｘ，又因为总有Ｌ＞ｄ＞0，所以　　［（Ｌ－ｄ）２／4Ｌ２］Δｘ＜（1／4）Δｘ．　　由上述讨论可见，如果测量同一凸透镜的焦距，用第一种方法（平面镜法）测量ｆ产生的误

6、差最大；第二种方法（公式法）测量产生的误差较第一种方法小；用第三种方法（共轭法）测量ｆ产生的误差最小，误差最大也不超过第一种方法的1／4．　　四、在教学中的运用　　在上述三种测量凸透镜焦距的方法中，用平面镜法测量的误差虽然较大，但因其方法简单，常用于简单、粗略测量凸透镜的焦距．　　凸透镜成像公式是高中光学部分的重要计算公式，在解决凸透镜成像问题中有重要应用，虽然用公式法测量凸透镜焦距的方法测量的误差比平面镜法小，比共轭方法大，但它是高中学生必须掌握的测量方法．由⑤式可推知，当ｕ＝ｖ时，ｆ的误差为该种方法最小值，即Δｆ＝（1／2）Δｘ，因此，用这种方法

7、测量凸透镜的焦距ｆ时应指导学生在物距ｕ和像距ｖ接近相等时测量，这样测得的ｆ才较准确．　　用共轭法测量凸透镜的焦距，也是要求高中学生必须掌握的实验方法．这种方法适用于需要比较准确测量凸透镜焦距时采用．由　　ｆ＝（Ｌ２－ｄ２）／4Ｌ，可得　ｄ２＝Ｌ（Ｌ－4ｆ）和Ｌ－ｄ＝4ｆＬ／（Ｌ＋ｄ）．由此可得：Ｌ越大，ｄ越大，（Ｌ－ｄ）越小，由⑥式可得Δｆ也越小．例如当Ｌ＝5ｆ时，ｆ的误差Δｆ约为第一种方法的1／12．因此，在用共轭法测ｆ时，在保证光线近轴和两次成像都能清晰的前提下，应尽量取物屏与像屏的距离L较大一些（如Ｌ＝5ｆ），这样测得的ｆ的误差比用公式法测量时

8、小得多．