莱布尼茨数学思想的统一性论文

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1、莱布尼茨数学思想的统一性论文戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（１６４６～１７１６）对数学有两项突出贡献：发明了符号逻辑和微积分。由于这两项成就分属不同的数学分支，人们也往往将其看作莱布尼茨的两种不同工作，忽视了它们之间的一致性，这为研究莱布尼茨的数学思想、完整地理解数学史和科学发现的规律带来不少困难。本文的目的就是试图理解的揭示这种一致性。一、符号逻辑：“通用数学语言”莱布尼茨对数学问题的最早探索和最初贡献是试图沿着笛卡尔和霍布斯的思路建构所谓的“通用语言”。这种语言是一种用来代替自然语言的人工语言，它通过字母和符号进行逻辑分析与综合，把一般逻辑推理的规则改变

2、为演算规则，以便更精确更敏捷地进行推理。（［１］，ｐ．８）或者说.freel）上首次发表了题为《关于求极大、极小和切线的新方法，也能用于分数和无理量的情形及非寻常类型的有关计算》（简称《新方法》）的文章。这是他关于微分计算要点的代表作，全文只有六页。１６８６年莱布尼茨又在《教师学报》上发表了题为《论一种深邃的几何学和不可分元分析以及无穷》一文。这是他最早发表的以讨论积分学为主的文章，实际可看作《新方法》的续篇。莱布尼茨把最初的微积分称为求差的方法与求和的方法。他的基本思想是把一条曲线下的面积分割成许多小矩形与曲线之间微小直角三角形的两边分别是曲线上相邻两

3、点的纵坐标和横坐标之差。当这两无限减小时，曲线上相邻两点便无限接近。联结这样两点就得出曲线在该点的切线。这就是求差的方法。求差的反面就是求和。当曲线下面的矩形被分割得无限小时，矩形上面的那个三角形可以忽略不计，此时就用这些矩形之和代表曲线下的面积。早在１６６６年，莱布尼茨就发现帕斯卡算术三角形与调合三角形之间存在着有趣的关系。（［６］，ｐｐ．２１６～２１７）在帕斯卡三角形中，任意一个元素既等于其上一行左边各项之和，又等于其下一行相邻两项之差；而在调合三角形中，任一元素均是其下一行右边各项之和，也是紧靠其上两项之差。算术三角形调合三角形莱布尼茨在笔记中写出

4、了各阶的差和微分：自然数０，１，２，３，４，５，…ｙ一阶差１，１，１，１，１，１，…ｄｙ二阶差０，０，０，０，０，…自然数平方０，１，４，９，１６，…ｙ一阶差１，３，５，７，…ｄｙ二阶差１，２，２，２，…ｄ（ｄｙ）三阶差１，０，０，…他把这些与微积分联系起来：一阶差相当于ｄｙ，它们的和等于ｙ，如１＋３＋５＋７＝１６。莱布尼茨认为，这种和与差之间的互逆性，与依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性是一样的。差别仅在于帕斯卡算术三角形与调合三角形中的两个元素之差为有限值，而曲线的纵坐标之差是无穷小量。这说明他在考虑无穷小量的和差运算时，已将

5、其与他早些时候关于有限量和差可逆性关系的研究联系起来。（［１０］，ｐ．３９２）由此也可看出莱布尼茨研究微积分的代数出发点，而不是几何出发点。（如［７］，ｐ．１０１）为解决求积问题，莱布尼茨把流动纵坐标是ｙ的平面曲线下的曲边梯形的面积用符号ｙ表示。这样，曲线的纵坐标就与面积变量明显地联系起来。过了几年，他便用“ｓｙｄｘ”表示面积，“∫”是“Ｓｕｍ（和）”的第一个字母“Ｓ”的拉长。在求量的差即微分方面，莱布尼茨先是引进了符号“ｘ／ｄ”表示ｘ的微分，意思是求“差”要关系到量的同次的降低，并且他还认为，如果同时出现不同阶的微分，则只留下最低阶的，而把所有高阶的微

6、分舍去。至于这样做的理由，莱布尼茨虽提供了多种解释，但都不充分，其实毋宁说他是当作“公理”来使用的。后来，他将“ｘ／ｄ”改为“ｄｘ”，一直沿用至今。从上述思路出发，莱布尼茨给出了微积分的基本公式：ｄ（ｘ±ｙ）＝ｄｘ±ｄｙ（１）ｄ（ｘｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ（２）ｄ（ｘ／ｙ）＝ｙｄｘ－ｘｄｙ／ｙ［２］（３）对于（２），他的推导是，令ｘ、ｙ分别成为ｘ＋ｄｘ、ｙ＋ｄｙ，则（ｘ＋ｄｘ）（ｙ＋ｄｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ＋ｄｘｄｙ＋ｘｙ于是ｄ（ｘｙ）＝（ｘ＋ｄｘ）（ｙ＋ｄｙ）－ｘｙ＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ＋ｄｘｄｙｄｘｄｙ是比ｘｄｙ＋ｙｄｘ高一阶的无限小量，可以舍去，所以ｄ（ｘｙ）

7、＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ用同样的方法也可推导出公式（１）和（３）。有了微分法的基本运算律，对整指数的幂函数ｘ［ｎ］就有ｄｘ［ｎ］＝ｎｘ［ｎ－１］。又由于求和是求差的逆运算，所以还有∫ｘ［ｎ］ｄｘ＝１／ｎ＋１ｘ［ｎ＋１］（ｎ≠－１）。这两个公式虽只对ｎ是正整数情况而言，但莱布尼茨却断然宣布它们当ｎ取其它数值时仍然成立。接着，莱布尼茨陆续地推导出指数和对数等超越函数的微分公式。莱布尼茨的微积分算法是在解决几何和物理问题的过程中建立和完善起来的。他边建立新算法，边用这种算法解决当时物理学与几何学提出的疑难问题，有时还用老方法来解决问题以检验新方法的正确性。除了切线问题

8、、极值问题、曲率问题、求积问题等几何问题，他还曾用新方法证明了光的折射定律。所有