第2章 质点动力学2

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1、2-12小球在外力作用下，由静止开始从点出发作匀加速直线运动，到达点时撤消外力，小球无摩擦地冲上竖直的半径为的半圆环，达到最高点时恰能维持在圆环上作圆周运动，并以此速度抛出而刚好落回原来的出发点处，如图所示，试求：（1）小球在段运动的加速度大小；（2）小球又落到点前的瞬时，切向加速度的大小。分析小球在点恰能维持圆周运动，重力提供向心力，由此求得；段机械能守恒，由求得，段小球平抛运动，可求到的水平距离，即。进一步可由，求段小球运动的加速度。小球落到点，其在点加速度为重力加速度，其在切向方向的投影即为。解（1）小球达到最高点时，恰能维持圆周运动，因

2、而有在段，小球只受重力作功，根据机械能守恒定律，有得小球在段作平抛运动，因而有所以段长为在段，小球作匀加速度运动，因而有小球在段的加速度为（2）小球落到点瞬时速度的水平、竖直分量分别为因而瞬时速度大小为39小球做平抛运动，落到点的加速度即为重力加速度，其方向垂直向下，切向方向因而切向加速度大小为说明本题综合运用了运动学规律，牛顿运动定律、机械能守恒定律。求解本题关键在于分析清楚小球在各段的规律。另外，注意理解小球平抛落到点的切向加速度为重力加速度沿切向的分量。2-13如图所示，一链静止跨于一光滑圆柱上，圆柱轴为水平，链长为圆柱周长的一半。若轻微

3、扰动，试求当链滑过长为的一段时的速度（为圆柱体的半径）。分析链滑动时，只有重力作功，机械有守恒，由机械能守恒就可求解。解设链的线密度为，建立坐标如图，取过圆柱中心的水平面为重力势能零点，链滑动前，其势能为其中，，因此有当链滑过长度时，因链各部分速度相同，其动能为此时其势能为39链滑动过程中，只有重力作功，机械能守恒，因此有解之得此时链的速度为说明链受重力和圆柱面支持力作用，支持力不作功，因此机械能守恒。在用机械能守恒求解本题时，链各个质元速度相同，因此链的动能为其质量乘以速度平方的二分一，而因各个质元所处位置的不同，各个质元的势能却不同，因此要

4、采用积分求链的势能，这是解本题的难点。2-14如图，两块薄板中间用一轻弹簧连接，已知两板质量、，系统原来静止在水平面上（弹簧与水平面垂直），求至少应加多大压力，才能使当撤消后，刚好被提起。分析在板压下后再弹起过程中，在弹簧伸长到原长之前，板受弹簧向下的弹性力作用，当弹簧伸到比原长长时，板开始受向上弹性力作用，此力随弹簧伸长而增大，当增大到（如图）时，板被提起，而此时弹簧伸长的伸长量与初始时加在板上的压力有关，整个过程机械能守恒，由此可求解力。解如图所示，设加压力后弹簧压缩量为，弹簧倔强系数为，而静止，由牛顿第二定律有(1)取、，弹簧及地球为一系

5、统，在撤去外力回跳过程中，只有保守力作功，机械能守恒，选取弹簧具有自然长度时，弹性势能为零，并选此时弹簧顶端所在高度为重力势能零点，设回跳后，弹簧最大伸长为，则由机械能守恒有(2)将（1）式代入（2）得展开，经整理后可得(3)若需将提起，则应有，将此不等式代入方程（3），有39由此解得所以压力至少应为方能使撤消后提起。此结果对互换、无关，同时与弹簧倔强系数k无关。说明在本题中，系统只受重力、弹簧弹性力这两个保守力作用，机械能守恒。弹簧弹性势能零点选在弹簧原长处，这样弹簧弹性势能为（为弹簧伸长量）。另外，应注意将提起所满足的条件。2-15质量为的

6、木块放置在光滑水平桌面上，质量为，速度为的子弹水平射入木块，子弹在木块内经距离相对于木块静止，此时木块向前滑动了一段距离。如图所示。假设木块相对于子弹的阻力是恒定不变的，则子弹相对于木块静止时，求子弹与木块一起运动的速度及木块滑动的距离L。分析子弹射入木块的过程动量守恒，由此求共同速度，从子弹射入到子弹相对木块静止的过程中子弹在阻力作用下，速度从变为，同时，木块在的反作用力作用下，速度从0变为，因而对子弹木块分别应用动能定理即可求解。解子弹和木块构成的系统在水平方向不受外力作用，其动量守恒，设子弹相对木块静止时，其速度为，由动量守恒得(1)设子

7、弹和木块之间的作用力为，依题意此力为一恒力。对木块，在整个过程中，外力对其作的功为，根据动能定理(2)对子弹，在整个过程中，外力对其作的功为，根据动能定理(3)将（1）式代入到（2）、（3）式中，联立（2）、（3）式可解得说明39从本题（1）、（2）、（3）式可看出：系统的内力不改变系统的动量而可以改变系统的机械能。结合动量守恒和动能定理就可求解本题。在运用动能定理时，要正确分析子弹和木块在整个过程中各力作功情况，例如对于木块，子弹对其作的功为，对于子弹，木块对其作的功则为。2-16如图，一半径为的铅直圆轨道，在轨道最低点处，一小球沿该圆平面内

8、的水平方向以速度射出，并循圆周轨道运动到点离开，而后作抛物线运动并通过圆轨道的中心，求速度。分析小球在点脱离圆轨道，其后作斜抛运动过点。根据小球在点脱