学士学位论文—-二次曲面方程的化简与分类.doc

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1、二次曲面方程的化简与分类1.摘要对于给定的二次曲面方程,以前的方法是通过特征方程可求出它所对应的主方向.由于二次曲面的每个特征根至少对应一个主方向,也就是说二次曲面至少有一个主径面,而二次曲面的主径面又是二次曲面的对称面,因而选取主径面作为新坐标面,或者选取主方向为坐标轴方向,就成为二次曲面方程的化简方法，但本文应用“向量化”和“滤射变化”化简二次曲面方程.“向量化”在空间中的一个直角坐标系下，二次曲面方程ǡǡ

2、阐明了存在着一个由方程中各系数表出的(自由)向量b,利用自由b不仅可以使得一般二次曲面方程的化简过程“向量化”,并且能够给出在化简过程中出现有关点的位置和数量的内在几何意义.“滤射变换”化简二次曲面方程，首先对二次曲面方程ǡǡ配方变形,利用直线与二次曲面相交时参数m的几何意义,以及滤射变换的性质,得到了二次曲面方程分类与化简的一种运算简单方便的方法.根据上述方法,本文通过对二次曲面方程进行化简,化简成五类方程和17种标准形式.2.二次曲面方程的问题分析2.1二次曲面方程的化简依据二次曲面的方程化简与

3、二次曲线一样，而对于二次曲线的化简与作图，崔萍给出了比较详细的化简过程，将一个点对某个坐标系的坐标变换为该点对另外一种坐标系下的坐标，通过一系列的转轴与移轴，用坐标变换法来化简二次曲线.因此，二次曲面方程的化简关键在于能否适当的选取坐标系，在一些二次曲面中，其对称面即坐标面，对称轴即坐标轴，坐标原点即曲面中心（或为曲面顶点）.此即表明，使所选坐标系满足以上条件时，二次曲面的方程即为规范形式，分析可得，通过转轴和移轴可完成上述任务.对于中心型和非中心型二次曲面，进行不同程度的转轴和移轴，先后消去一次项和交叉项，方程即可转化为规范

4、形式.平面上的二次方程：2.2二次曲线方程的化简与作图首先把一个点进行行坐标平移变换：''其中，(ǡ䁢表示平面内点的旧坐标，'ǡ'表示点的新坐标,ǡ表示原坐标系下的原点的新坐标.坐标旋转变换：'cosα'sinαy'cosα'sinα其中α为坐标轴的旋转角.于是有，在坐标平移变换下，二次曲线方程二次项系数不变，一次项系数变为ǡ和(ǡ䁢，常数项变为ǡ.而在坐标

5、旋转变换下，二次曲面的二次项和一次项系数分别只是原系数和旋转角度的因变量，与其他量无关，常数项保持不变.二次曲线方程的化简分为两大类：第一类：中心二次曲线方程，把新坐标系的原点移到二次曲线的中心，则得到ǡ和(ǡ䁢.消去二次曲线中的一次项，常数项化为(ǡ䁢.再通过旋转即可转化二次曲线方程为更简单的方程.第二类：无心二次曲面方程，转轴过后再平移，利用平面直角坐标变换.2.3常用的二次曲面方程的化简方法对于二次曲面方程的化简，常见的化简方法有通过特征方程求主径面，空间坐标变换（转轴和移轴），应用不变

6、量等方法化简二次曲面方程，笔者所用化简方法与常见化简方法之间既存在着差异也有相似，为了方便读者更易读懂本文所用方法与常见方法之间的异同，在此列出常见特征方程法以作比较.以三个主方向建立的笛卡尔坐标系为新坐标系作坐标轴的旋转，曲面方程以二次曲面的非奇主方向为新轴方向，以共轭于这个方向的主径面作为新坐标平面x'建立坐标系，则曲面方程化为：''''''''''''

7、'y'''''''''以x'作为主方向，得到与之共轭的主径面方程：'''''''主径面方程式表'当且仅当'≠,'''.当',则''''''a'y'''''−'当'≠，则在y'o'z'平面内，将y轴与z轴旋转一角度θ，使cotθ'即通过直角坐标变换：''''

8、''cosθ−''sinθ'''cosθ''sinθ使项系数化为0，从而得到：''''''''''''''''''y''''''''即可化为：''''''