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1、参数估计方法及其应用数理统计的基本概念总体个体样本常用统计量的分布分位点统计量常用统计量t分布F分布分布一、总体与个体一个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为总体(母体)，总体中每个成员称为个体.研究某批灯泡的质量…考察国产轿车的质量总体总体然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.该批灯泡寿命的全体就是总体灯泡的寿命国产轿车每公里的耗油量所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体总体就是一个概率分布.由于每个个体的出现带有随机性，即相
2、应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号来表示总体。如:研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.二、随机样本的定义1.样本的定义为推断总体的分布及各种特征,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”.所抽取的部分个体称为样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量.(X1,X2,…,Xn)2.简单随机样本抽取样本的
3、目的是为了利用样本对总体进行统计推断,这就要求样本能很好的反映总体的特性,且便于处理.为此,需对抽样提出一些要求,通常有两条:满足上述两条性质的样本称为简单随机样本.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布.2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.定义13.简单随机样本的分布例1解例2解三、统计量1.统计量的定义使用样本推断总体特征,需要对样本值进行“加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的函数,它把样本中所含的信息集中起来.例1是不是2.几个常用统计量(样本矩)的定义(1)样本平均值(2)样本方差其
4、观察值它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息其观察值(3)样本标准差其观察值(4)修正样本方差其观察值(5)样本k阶(原点)矩其观察值(6)样本k阶中心矩其观察值样本矩具有下列性质:3.经验分布函数四、常见分布常用统计量的分布(一)常用统计量的分布(二)常用统计量的分布(三)常用统计量的分布的分位点1常用统计量的分布的分位点2关于正态总体的样本和方差的定理定理一定理二关于正态总体的样本和方差的定理定理三关于正态总体的样本和方差的定理定理四参数估计方法矩估计量估计量的评选最大似然估计量似然函数无偏性正态总体均值方差的置信区间与上下限有
5、效性置信区间和上下限求置信区间的步骤相合性一、参数的点估计参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数.估计废品率估计新生儿的平均体重估计湖中鱼数……估计平均降雨量参数估计问题的一般提法设有一个统计总体，总体的分布函数为F(x，)，其中为未知参数。在参数估计问题中，假定总体分布形式已，未知的仅仅是一个或几个参数.现从该总体中抽取样本X1,X2,…,Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数这类问题称为参数估计.1、点估计问题的提法设总体X的分布函数形式已知,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体X
6、的一个样本来估计总体未知参数的问题称为点估计问题.例1解2、估计量的求法由于估计量是样本的函数,是随机变量,故对不同的样本值,得到的参数值往往不同,求估计量的问题是关键问题.估计量的求法:(两种)矩估计法和最大似然估计法.矩估计法其基本思想是用样本矩估计总体矩.它是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.记总体k阶矩为样本k阶矩为用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,从而得出参数估计，这种估计法称为矩估计法.矩估计法的具体步骤:设总体X服从泊松分布求参数的估计量.解：
7、设是总体X的一个样本,由于,可得例2例3解例3续解方程组得到a,b的矩估计量分别为例4解总体均值与方差的矩估计量的表达式，不因不同的总体分布而异.一般地:矩法的优点是简单易行,缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.最大（极大）似然估计法最大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.GaussFisher英国统计学家费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.1.似然函数（或分设总体X的分布律为，其中是未知参数，是
8、总体X的一个样为布密度为）本，则样本，当给定样本值后，它只是参数的函数，记为即的分布律2.最大似然估计法定义设总体的分布密度（或分布律）为，其中为未知参数。又设是总体的一个样本值，如果似然函数
