随机变量模型的确定

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1、第十一章随机变量模型的确定11.1随机变量模型的确定三种情形：①.随机变量分布的类型已知,需要由观测数据确定该分布的参数②.由观测数据确定随机变量概率分布类型,并在此基础上确定其参数③.由已有的观测数据难以确定该随机变量的理论分布形式,则定义一个实验分布图11.1均匀分布U(a,b)的密度函数f(x)1/(b-a)0abx1分布参数的确定u分布参数的类型(1)位置参数(记为)确定分布函数取值范围的横坐标。当改变时,相应的分布函数仅仅向左或向右移动而不发生其它变化,因而又称为位移参数。例如,均匀分布函数U(a,,b),其密度函数为:15图11.2指数分布EXPO()的密度函数00.51.0

2、xf(x)2.01.00.5=0.5=1.0=2.0其中参数定义为位置参数,当改变时(保持不变),向左或向右移动。(2)比例参数(记为)：决定分布函数在其取值范围内取值的比例尺。的改变只压缩或扩张分布函数,而不会改变其基本形状。例如,指数分布函数EXPO(),其密度函数为:(3)形状参数(记为α)：确定分布函数的形状,从而改变分布函数的性质,例如,韦伯分布Weibull(),其密度函数为:15图11.3韦伯分布Wilbull()的密度函数00.51.01.52.02.5xf(x)1.51.00.5=3=2=1当改变时,其形状发生很大的变化。随机变量,如果存在一个实数,使与具有相同的分布,

3、则称与仅仅是位置上不同变量;如果对于某个正实数,使得与具有相同的分布,则称与仅仅是比例尺不同的随机变量;如果与具有相同的分布,则称与仅在位置与比例上不同。2.分布参数的估计最大似然估计:设参数,观测数据为在离散分布情形,可令为该分布的概率质量函数,定义似然函数为:则是联合质量函数,的最大似然估计值是使取最大值的,即对于所有可能的值,。15在连续分布情形,令为该分布的概率密度函数,其似然函数定义为:例：指数分布,被估计的参数,其分布密度函数为由为求使取最大值的,先对取自然对数:由于是严格递增的,取最大值等价于取最大值,为此,对求极值:可得15又由当时,由于为正,可见,因而为最大值,从而得到

4、参数的最大似然估计值为11.2分布类型的假设由观测数据来确定随机变量的分布类型----对观测数据进行适当的预处理,然后根据预处理的结果对分布类型进行假设。1.连续分布类型的假设预处理方法有三种,即点统计法、直方图法及概率图法。(1)点统计法：基于连续分布的变异系数特征来进行分布类型的假设。变异系数的定义是:15其中Var与E分别为分布的方差与均值。点统计法对观测数据进行如下预处理:则的似然估计为:然后根据值并参照各类分布的变异数据来假设观测数据的分布类型------粗(2)直方图法将观测数据的取值范围分成个断开的相邻区间,,每个区间宽度相等,记为。对任意,设为第个区间上观测点的个数,记1

5、5定义函数01.02.00.200.150.100.05做出的直方图,再将该图与基本理论分布的密度函数图形进行比较(先忽略位置及比例尺的差别),观察何种分布与的图形类似,则可假设观测数据服从该类型分布，然后再采用前面介绍的方法确定其参数。在实际使用时,可能需要增加一些其值特别大或特别小的观测数据，以便与理论分布进行比较。使用直方图法的困难在于如何确定区间长度。太大,将丢失信息,太小,则观测数据中的噪声滤除得不够(一般观测数据中总是存在一定的噪声)。15(3)概率图法直方图法：将观测数据的直方图与理论分布的密度函数进行比较概率图法：将观测数据定义成一个实验分布函数,然后将它与理论分布函数进

6、行比较后再进行假设设观测数据共有个取值(,因为可能存在取值相同的观测点),分别记为(1),(2),…,,实验分布函定义为:其中表示小于或等于的观测数据的个数,且。为了避免由有限个观测数据得到的实验分布函数值等于1,对上式可略加修正,可采用下式来定义:概率图法采用所谓“分位点”比较法:定义：分布函数的分位点为：设,则称为的分位点。如果与都是分布函数,分别取不同的值,相应得到不同的(),若与15是相同的分布函数,则由()形成的轨迹是斜率为45°的直线。反过来说，如果由两个分布函数与按相同的一组值求得各自的分位点,在平面上确定的轨迹,若该轨迹是一条斜率为45°的直线,则可以确认与的分布是相同的

7、。为了假设的分布类型,可取的分位点为,分别对应的值为,然后从基本理论分布中选择一种,按分别求得其分位点,然后在平面上画出的轨迹,观察是否是斜率为45°的直线,若比较接近,则可假设观测数据的分布类型与所选分布的类型相同。有时,的轨迹虽然呈直线形状,但斜率却不是45°,这说明这两个分布的类型是相同的,只是位置参数和(或)比例参数不同,那么可对进行如下下变换:得到的的轨迹必然是斜率为45°的直线。这就说明,只要分位点的轨迹接近直线,不管其