de sitter空间中介于两个平行伪球面之间的类空超曲面

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1、deSitter空间中介于两个平行伪球面之间的类空超曲面数学年刊2006,27A(3):365-374deSitter空间中介于两个平行伪球面之间的类空超曲面张远征术提要本文利用广义极大原理证明了deSitter空间中介于两个平行的,同侧的维伪球面之间的完备常平均曲率类空超曲面一定是伪球面.对于常高阶平均曲率的完备超曲面.当截曲率有下界时.也有相应的唯一性结果.关键词类空超曲面,平均曲率,广义极大原理MR(2000)主圈分类53C42中田法分粪O186.16文献标识码A文章编号10008314(2006)03.0365—1

2、01引言众所周知,在3维欧氏空间中,除平面外,存在介于两个平行平面之间的完备非平坦的极小曲面(见Jorge和Xavier在【6】中构造的例子).而在Lorentz.Minkowski空间+1中,完备的极大类空超曲面只有类空超平面(见I2,4】),在常平均曲率的情况下,介于两个平行平面之间的完备常平均曲率类空超曲面一定是极大超曲面(见【1】),因此,根据Cheng—Yau的定理(见【4】),一定是类空超平面.本文考虑deSitter空间中介于两个平行伪球面之间的类空超曲面.设"为Lorentz—Minkowski空间+2中的

3、单位deSitter空间.在L叶0中任取一个类空的单位向量a,用两个平行超平面L(a,ri)=<∈L十.:(z,a)=coshrl}(r2>r1>0,i=1,2)去截州,所得截口是半径为sinhr~的伪球面,记为日(n,sinhri),它们有两个连通分支:H(o,sinhri)(z一(z,a)a指向未来)和日兰(a,sinhri)(一(z,a)a指向过去).显然,哗(0,sinhr1)和(n,sinhr2)在¨上围成一个开区域.所谓¨中子流形介于两个平行的,同侧的n维伪球面之间,是指子流形落在某两个(a,

4、sinhr1)和(n,sinhr2)(或(a,sinhr1)和耻(a,sinhr2))围成开区域中.介于两个平行的同侧的n维伪球面之间的完备类空超曲面,一定微分同胚于伪球面的一个分支(见命题3.2).进一步地,当具有常数平均曲率时,利用广义极大原理(见【8,1O】),证明了这种类空超曲面只有伪球面(定理3.2).事实上,在第三节中证明了更一般的结果(定理3.1),它刻画了乘积空间S(coshr)×Hn-k(sinhr)(2k)的一个特征.对于常高阶平均曲率的情况,利用Omori极大原理(见【81)和Garding不等式(见

5、(5】),在截曲率有下界的条件下,获得相同的唯一性结果(定理4.1).本文2005年4月18日收到.十上海财经大学应用数学系,上海200433.E—mail:yzh_zhang~sohu.com———————————_I!竺一一.一一鍪兰兰——.一一——.!!堂垒墨:2基本公式设卅.为(n+2)维Lorentz—Minkowski空间(n2),其上的Lorentz度量(,)为;,)=11+…+Vn+I'UJn+1一Vn+2"tOn+2.;叶上的单位deSitter空间为s+:{∈L+:(,)=1).j它是单连通,截曲率为1

6、的Lorentz空间形式.设:M一¨CL¨为扎维连通流形到s"中的光滑浸入.如果上的诱导度量是Riemann度量,则称M是类空超曲面.对于定向的类空超曲面,可取类时的单位法向量场Ⅳ,使Ⅳ总是指向未来方向,即Ⅳ的最后一个分量iv.+2>0.习惯地,称Ⅳ为的Gauss映照.用v.,和v分别表示Ln+,s+和M的LeviCivita联络,则M在s中的Gauss,Weigarten公式分别为roy=VxY一(X,y)=VxY一(A,y)Ⅳ一(X,y)妒,(2.1)()=一VⅣ=一VxⅣ,(2.2)其中,Y∈x(),A:x(M

7、)一x(M)表示在州中的形状算子.设h=一~tr(A)为在州中的平均曲率,H=hN为平均曲率向量.易知,M的Ricci曲率为Ricci(X,X)(n一1)lxI+nh(A(X),X)+(A(),A()),因此'一2L2,Ricci(X,X)≥I(n一1)一—7/,-H,-IlxI.(2.3)LJ如果平均曲率有界,则Ricei曲率有下界,此时,可以利用广义极大原理.3常平均曲率完备超曲面本节给出球面与伪球面的乘积空间的一个特征刻画.为此,先简要描述一下该乘积空间的几何.设为叶中(k+1)维类空子空间,上表示在+中的正交补,显

8、然上是指标为(n—k,1)的子空间.用7r:L叶.一和7r上:+._-+上表示正交投影.给定一个正数r,则乘积空间Sk(coshr)×日n一知(sinhr)=<∈n+2:(7r(),丌())=cosh2r,(7r上(),7r上())=一sinhr},落在deSitter空间¨上,在诱导度量下它是类