线性代数 第一章总结

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1、第一章行列式线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer）法则。本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。§1二阶、三阶行列式一、内容提要1．二阶行列式的定义其中称为行列式的

2、元素，的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j列。二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：=其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。2．三阶行列式的定义三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：29其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六

3、项的代数和就是三阶行列式的展开式。二、例题分析例1求解二元线性方程组解：由于系数行列式，所以方程组有唯一解为：，。例2计算行列式解例3计算行列式；；；解：由对角线法则有：；；；特别地:；三、小结对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。由例3得结论：（1）上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。（2）对角行列式等于主对角线上元素的乘积。29§2全排列及其逆序数一、内容提要排列把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用表示.。逆序在一个排列中，若，则

4、称这两个数组成一个逆序.逆序数排列中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为。排列中，考虑元素，如果比大的且排在前面的元素有个，则称元素的逆序数是。记为。奇排列逆序数为奇数的排列称为奇排列。偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列。特别地，标准排列1，2，···，n的逆序数。规定，标准排列是偶排列。二、例题分析排列中，考虑比大，且排在前面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即（前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+······+（前面比大的数的个数）；同样，考虑比小，且排在后面的元素的个数，就可以排列的逆

5、序数。即（后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+······+（后面比小的数的个数）。例4求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。（1）53214；（2）n(n–1)···21；（3）(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k+1)k。解：（1）53214，，，，。因此，。此排列为奇排列。（2）n(n–1)···21，，，···，，，。因此，。29当时，排列为偶排列；当时，排列为奇排列。（3）(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k+1)k，，，，，·····

6、·，······，，，。因此，。当k为偶数时，排列为偶排列；当k为奇数时，排列为奇排列。例5设的逆序数为k，问排列的逆序数是多少？解：若在排列中，后面比小的数共有个，则在排列中，前面的数共有个，前面比大的数共有个。由已知有。所以排列的逆序数为。三、小结求排列的逆序数的方法：（1）（前面比大的数的个数）+（前面比大的数的个数）+······+（前面比大的数的个数）；（2）（后面比小的数的个数）+（后面比小的数的个数）+······+（后面比小的数的个数）。29§3n阶行列式的定义一、内容提要由n2个元素组成

7、的记号称为n阶行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中的n个元素的行标排成标准排列后，若对应的列标构成的排列为偶数，则取正号；若对应的列标构成的排列为奇数，则取负号，即。行列式简记为。一阶行列式为。n阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二、例题分析例6判别和是否为六阶行列式中的项。分析：判别是否为n阶行列式中的项，要考虑：（1）n个元素是否位于不同行，不同列；（2）确定其符号。解：不是六阶行列式中的项。这是因为，与都位于第6列。是六阶行列式中的项

8、。首先，中的6个元素位于不同行，不同列；再有，。确定其符号：，因此，应带负号。N阶行列式的展开式是n!项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n29个元素的乘积。因此，对于含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。但对于一般性的行列式，常用后面将要学到的性质与定理进行简化计算。对于含零元素较多的行列式，用定义计算时，只需求出所有非零项，并进行代数和即可。例7计算行列式。解：这是一个4阶行列式。其展开式中项的一般形式为。若，则，从而