高考数学大一轮复习第六章数列.等比数列及其前n项和学案文

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1、§6.3　等比数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3.了解等比数列与指数函数的关系.以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公

2、比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝15，G2＝ab，G＝±，称G为a，b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍

3、是等比数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.知识拓展等比数列{an}的单调性(1)满足或时，{an}是递增数列．(2)满足或时，{an}是递减数列．(3)当时，{an}为常数列．(4)当q<0时，{an}为摆动数列．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)

4、的数列{an}为等比数列．(　×　)(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　×　)(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　)(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(　×　)(5)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　)题组二　教材改编152．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.答案　解析　由题意知q3＝＝，∴q＝.3．在9与243中间插入两

5、个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案　27,81解析　设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题组三　易错自纠4．若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为________．答案　－解析　∵1，a1，a2,4成等差数列，∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，∴b2＝2，∴＝＝－.5．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8

6、a2＋a5＝0，则＝________.答案　－11解析　设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴＝·＝＝＝－11.6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210KB)．答案　4815解析　由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n，则2n＝64×210＝216，∴n＝16.即病毒共复制了16次．∴所需时间为16×3＝4

7、8(分钟).题型一　等比数列基本量的运算1．(2018·开封质检)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)A．2B．1C.D.答案　C解析　由{an}为等比数列，得a3a5＝a，又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.故选C.2．(2018届河北衡水中学二调)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且<1，若a3＋a5＝20，a3a5＝64，则S4等于(　　)A．63或120B．256C．120D．63答案　C

8、解析　由题