自考线性代数复习指导

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1、第一章 行列式  一、重点  1、理解:行列式的定义,余子式,代数余子式。  2、掌握:行列式的基本性质及推论。  3、运用:运用行列式的性质及计算方法计算行列式,用克莱姆法则求解方程组。  二、难点  行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。  三、重要公式  1、若A为n阶方阵,则│kA│=kn│A│  2、若A、B均为n阶方阵,则│AB│=│A│。│B│  3、若A为n阶方阵,则│A*│=│A│n-1  若A为n阶可逆阵,则│A-1│=│A│-1  4、若A为n阶方阵,λi(i=1,2,…

2、,n)是A的特征值,│A│=∏λi  四、题型及解题思路  1、有关行列式概念与性质的命题  2、行列式的计算(方法)  1)利用定义  2)按某行(列)展开使行列式降阶  3)利用行列式的性质  ①各行(列)加到同一行(列)上去,适用于各列(行)诸元素之和相等的情况。  ②各行(列)加或减同一行(列)的倍数,化简行列式或化为上(下)三角行列式。  ③逐次行(列)相加减,化简行列式。  ④把行列式拆成几个行列式的和差。  4)递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式  5)数学归纳法,多用于证明  3、运用克莱姆法则求解线性方程组 

3、 若D=│A│≠0,则Ax=b有唯一解,即  x1=D1/D,x2=D2/D,…,xn=Dn/D  其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。  注意:克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。  4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题  1)当│A│=0时,齐次方程组Ax=0有非零解;非齐次方程组Ax=b不是唯一解(可能无解,也可能有无穷多解)2)当│A│≠0时,齐次方程组Ax=0仅有零解;非齐次方程组Ax=b有唯一解,此解可由克莱姆法则求出。矩阵 一、重点  1、理解:矩阵的定义、性质,几种特殊的矩阵(零矩阵,上(下)三

4、角矩阵,对称矩阵,对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵)  2、掌握:  1)矩阵的各种运算及运算规律  2)矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法  3)矩阵的初等变换方法  二、难点  1、矩阵的求逆矩阵的初等变换  2、初等变换与初等矩阵的关系  三、重要公式及难点解析  1、线性运算  1)交换律一般不成立,即AB≠BA  2)一些代数恒等式不能直接套用,如设A,B,C均为n阶矩阵  (A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2  (AB)2=(AB)(AB)≠A2B2  (AB)k≠AkBk  (A+B)(

5、A-B)≠A2-B2  以上各式当且仅当A与B可交换,即AB=BA时才成立。  3)由AB=0不能得出A=0或B=0  4)由AB=AC不能得出B=C  5)由A2=A不能得出A=I或A=0  6)由A2=0不能得出A=0  7)数乘矩阵与数乘行列式的区别  2、逆矩阵  1)(A–1)–1=A  2)(kA)–1=(1/k)A–1,(k≠0)  3)(AB)–1=B–1A–1  4)(A–1)T=(AT)–1  5)│A–1│=│A│–1  3、矩阵转置  1)(AT)T=A  2)(kA)T=kAT,(k为任意实数)  3)(AB

6、)T=BTAT  4)(A+B)T=AT+BT  4、伴随矩阵  1)A*A=AA*=│A│I(AB)*=B*A*  2)(A*)*=│A│n-2│A*│=│A│n-1,(n≥2)  3)(kA)*=kn-1A*(A*)T=(AT)*  4)若r(A)=n,则r(A*)=n  若r(A)=n-1,则r(A*)=1  若r(A)  5)若A可逆,则(A*)-1=(1/│A│)A,(A*)-1=(A-1)*,A*=│A│A-1  5、初等变换(三种)  1)对调二行(列)  2)用k(k≠0)乘以某行(列)中所有元素  3)把某行(列)的

7、元素的k倍加至另一行(列)的对应元素  注意:用初等变换①求秩,行、列变换可混用  ②求逆阵,只能用行或列变换  ③求线性方程组的解,只能用行变换  6、初等矩阵  1)由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵  2)初等阵P左(右)乘A,所得PA(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换  3)初等阵均可逆,且其逆为同类型的初等阵  E-1ij=Eij,E(-1)i(k)=Ei(1/k),E(-1)ij(k)=Eij(-k)  7、矩阵方程  1)含有未知矩阵的等式  2)矩阵方程有解的充要条件  AX=B有解<==>B的每列可由A的列

8、向量线性表示  <==>r(A)=r(A┆B)  四、题型及解题思路  1、有关矩阵的概念及性质的命题  2、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)  3、矩阵可逆的判定  n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B,有AB=B

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