数值计算m课程论文

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1、数值计算M课程论文（一）项目基于Matlab的非线性方程数值解的求解姓名学号班级指导老师王承竞29时间：2014年4月23日摘要本文用六种在课上学习的方法通过对非线性方程f(x)=x-lnx+s=0的进行求解，从而学习加深对这六种方法（二分法、不动点迭代法、牛顿法、割线法、牛顿下山法和Halley迭代法）的理解。同时，本文还将通过控制基本设置，来评估收敛速度和结果的精确度来大概的评估这六种方法的优缺点。关键字：Matlab编程六种方法非线性方程注：本文是以具体的方程来讨论，因此本文取s=-8。1、六种算法的分析和Matlab编程描述1

2、.1二分法1.1.1二分法的算法分析29　　一般地，对于函数f(x)，如果存在实数c，当x=c是f(c)=0，那么把x=c叫做函数f(x)的零点。　　解方程即要求f(x)的所有零点。　　先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f((a+b)/2)，现在假设f(a)<0,f(b)>0,a

3、>0，同上通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。如图1.1.1所示为其理论分析图：图1.1.11.1.2二分法的Matlab编程描述functiony=dichotomy(fun,a,b,tol)ifnargin<4tol=1.0e-5;endn=1;iffeval(fun,a)*feval(fun,b)<029c=(a+b)/2;while(abs(b-c)>tol)&&(abs(feval(fun,c))>tol)if(feval(fun,c)

4、*feval(fun,a)>0)a=c;c=(a+b)/2;elseif(feval(fun,c)*feval(fun,a)<0)b=c;c=(a+b)/2;elsey=c;tol=100;endn=n+1;endy=c;elseiffeval(fun,a)==0y=a;elseiffeval(fun,b)==0y=b;elsedisp('theremaynotbearootintheinterval');endnend1.1.3程序的执行首先，我们建立我们的各个方程函数如下：对于x-lnx-8=029functiony=fun(x)

5、y=x-log(x)-8;end运行结果如下：>>x=dichotomy('fun',2,10.4,1.0e-6)n=17x=10.33561.2不动点迭代法1.2.1不动点迭代法的算法分析迭代法是函数方程求根中最常用的求近似方法，用迭代法求函数方程f(x)=0的近似根，首先要将方程化为等价方程x=φ(x)。等价就是，如果x*是原方程的根，那么x*=φ(x*)，反之，如果x*满足x*=φ(x*)，那么f(x*)=0。迭代法就是求方程x=φ(x)的解的方法，为了进行迭代，先选取一个初始值近似，构造迭代格式为若，则称此迭代为不动点迭代法。

6、易知构造不动点的迭代公式不一定收敛，且收敛速度也受所构造的迭代公式的好坏所影响。1.2.2不动点迭代法的Matlab编程描述functionx=BDD(x0,tol)ifnargin<2tol=1.0e-5;end29n=1;x=F(x0);whileabs(x-x0)>tolx0=x;x=F(x0);n=n+1;endnend1.2.3程序的执行>>x=BDD(2,1.0e-6)n=9x=10.33561.3牛顿法291.3.1牛顿法的算法分析求非线性方程（组）零点的一种重要的迭代法，又称牛顿－拉弗森法或切线法。其要点是：若在非线性

7、方程ƒ(x)＝0的零点x＝x邻域内，函数 ƒ(x)连续可微且ƒ┡(x)不为零,xn(n=0,1,2,…)是x的近似值,则在此邻域，用线性函数，近似代替ƒ(x),并以T(x)的零点作为x的新的近似值。这种通过构造序列x1,x2,…来近似x的方法就是牛顿法。若ƒ(x)是实函数,x是实数,则牛顿法有明确的几何意义：过点(xn,ƒ(xn))作曲线y =ƒ(x)的切线T，将T与x轴的交点xn+1作为x的新近似值。对于非线性方程组，x和 ƒ(x)分别为矢变量和矢量函数，（ƒ┡(x))为ƒ(x)的雅可比矩阵的逆矩阵。由牛顿法构造的序列x1,x2，…

8、收敛于x的充分条件是：①在x的邻域内ƒ┡(x)存在且满足李普希兹条件，即对x邻域内的任意x┡、x″，有，式中0〈α〈1；②（ƒ┡(x))存在；③初始近似值x0充分接近x。在上述条件下,x1,x2,…收敛于x的速度不低于二