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《高数部分习题解答(第6章)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第六章微分方程习题6.13．用微分方程表示下列命题.(1)曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点的横坐标与纵坐标之比的相反数.(2)某大洲的人口总量Q(t)的增长速度与当时的人口总数成比例.解:(1)根据导数的几何意义,y=f(x)在点（x，y）处的切线的斜率可用导数y¢=f¢(x)来表示,由题目的条件知y¢=,这就是所求的微分方程.(2)人口总量Q(t)的增长速度可用导数Q¢(x)来表示,设题目所说的比例系数为k>0，就得到所求的微分方程:Q¢(t)=kQ(t)或简写成Q¢=kQ.4.已知曲线族y=C1cos2x+C2sin2x
2、，求其中满足条件y(0)=2，y¢(0)=0的曲线.解:对y=C1cos2x+C2sin2x求导得到y¢=-2C1sin2x+2C2cos2x.把初始条件y(0)=2，y¢(0)=0分别代入这两个方程得:2=C1,0=2C2,即C1=2,C2=0.把它们代入曲线族方程得到y=2cos2x,这就是所求的曲线的方程.习题6.23．放射性物质镭的衰变速度与它现存量Q成正比，比例系数k=-0.00433，求①在时刻t（以年为单位）镭的存量与时间t的函数关系，②经过多少年后，镭的质量只剩下原始量的一半？解:设镭的存量与时间t的函数为Q=Q(t
3、),那么衰变速度可用导数Q¢(x)来表示,根据题目条件得到微分方程:Q¢=-0.00433Q,解这个方程得出镭的存量与时间t的函数为Q=Q0e-0.00433t.假定经过T年后，镭的质量只剩下原始量的一半,即Q(T)=0.5Q0.代入Q(t)中得到0.5Q0=Q0e-0.00433T,由此可求出T=»160(年).4．在某种化学反应中，物质A转变成物质B的速度与物质A的瞬时存量的平方成正比.如果物质A的初始质量为60克，1小时后物质A的瞬时存量减少到10克，求2小时后物质A的瞬时存量.解:设物质A在时刻t的存量为y=y(t),那么由
4、题目条件得到微分方程y¢(t)=k(y(t))2,或y¢=ky2,其中k是比例系数,且y(0)=60,y(1)=10.解这个方程得到通解y(t)=,把t=0,y=60代入通解表达式,可求出C=1/60,即得出特解y(t)==8;因为t=1时y=10,代入特解表达式,可求出k=-1/12,从而物质A的存量函数为y=.把t=2代入函数,求得y==5.45(g).即2小时后物质A的瞬时存量为5.45g.5．假定有一笔钱s0存在银行，每个月可按2%的利率获取复利息.求得该款存入后任何时刻的资金（连本带利）是多少？解:设在时刻t的资金（连本带
5、利）为s=s(t).那么由题目条件得到微分方程(初值问题):,求出通解为s=Ce0.02t.把t=0,s=s0代入求得C=s0.从而所求的解为s=s0e0.02t.即该款存入后任何时刻t的资金（连本带利）是s=s0e0.02t.6.用x(t)表示时刻t的销售量,设销售量的变化率x¢(t)与销售量x(t)及销售接近饱和水平的程度a-x之乘积成正比（比例系数k=0.1）.假定x(0)=100,饱和水平a=1100，求销售函数x(t).解:由题目条件得到微分方程x¢(t)=0.1x(a-x).求出通解为x=,其中c=.因为x0=x(0)=
6、100,饱和水平a=1100，所以c=10,销售函数x(t)为x=.7．（生物种群生长模型）在一个孤立小岛上红蚂蚁迅速繁殖,经一阶段增长后逐渐接近生长极限N.假定在时刻t0=0时的红蚂蚁量x0为生长极限N的m分之一（m>10为整数）,红蚂蚁量x(t)的增长率与x(t)本身和其接近生长极限的程度(N-x(t))之乘积成正比（比例系数k>0）.求红蚂蚁量x(t)的函数表达式.又,假定生长极限N=100000单位,x0为N的五千分之一,10天后红蚂蚁量达到x0的10倍,问经过多少时间红蚂蚁可达到其生长极限的百分之六十.解:由题目条件得到微
7、分方程x¢(t)=kx(N-x).求出通解为x=,其中c=.因为在时刻t0=0时的红蚂蚁量x0为生长极限N的m分之一,x0=N/m,c=m-1.所以,红蚂蚁量x(t)的函数表达式为x=.假定N=100000单位,x0为N的五千分之一,10天后红蚂蚁量达到x0的10倍,那么x0=20,m=5000,c=m-1=4999,t=10,k=0.23´10-6.因此函数x(t)为x=.假定经过T天红蚂蚁可达到其生长极限的百分之六十.那么,80.6N=,从中可求出T=38.7»39(天).习题6.33.求一曲线方程，它经过坐标原点并且在点(x，
8、y)处的切线的斜率为2x(1-y).解:设曲线方程为y=f(x),由题目的条件知y¢=2x(1-y).解这个方程dy=2dx,ln
9、y-1
10、=-x2+C,得到方程的通解y-1=C1.因为曲线经过坐标原点(0,0),把x=0,y=0代入
