高等数学 知识点串讲

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1、高等数学知识点串讲I、高数知识点框架一元函数极限、连续一元函数微分学一元函数微积分（导数与微分、中值定理以及导数的应用）一元函数积分学（不定积分、定积分以及定积分的应用）一元函数微积分的应用：常微分方程多元函数极限、连续多元函数微分学多元函数微积分（偏导数与全微分及多元微分学的应用）多元函数积分学：重积分，曲线面积分多元函数微积分的应用：无穷级数II、高数各章节知识点一、函数、极限、连续1、函数：单调性（定义，判定），有界性，周期性（定积分），奇偶性（定积分，二重积分的简化运算）；2、极限：各种计算方法（有界与无穷小的

2、乘积，夹逼准则，单调有界有极限，重要极限，单函数及两函数差的等价无穷小替换，洛必达法则，泰勒展开式；定积分的定义，导数定义）无穷小的比较（高阶+同阶+等价）3、连续：定义，闭区间连续函数的性质（零点定理，有界，介质，最值），间断点类型判断。二、导数与微分1、导数的定义：增量比的极限；2、基本求导公式+常见函数的导数（复合函数，反函数，分段函数，幂指函数，隐函数，变上限积分函数）+高阶导；3、微分，一阶微分形式不变性三、微分中值定理及应用1、罗尔，拉格朗日，柯西：定理内容，区别，关系（导数定义--费马---罗尔---拉格

3、朗日----柯西）2、三大中值定理在考研中的应用罗尔：含有中值等式的证明，导数或者高阶导数零点存在性证明和零点个数的估计；拉格朗日：含有端点函数值的中值等式证明，不等式的证明，利用拉格朗日研究函数有界性问题；柯西：含有两个函数的中值等式证明；（双中值定理的证明）3、导数的应用（单调性，凹凸性；极值点，拐点以及各自的第一、二充分条件和必要条件；曲率，渐近线3类）四、不定积分1、相关概念（不定积分、原函数，涉及奇偶性、单调性、周期性的客观题）；2、基本积分公式（必须熟悉）3、不定积分的计算凑微分法+第二换元积分法（三角代换

4、、幂代换、倒代换）+分部积分法（“指三幂对反”的顺序选择v）+特殊类型函数的积分（有理函数--拆项法、三角函数、简单无理函数）。五、定积分及其应用1、定积分的定义（2条件，四步骤，应用：无穷和式的极限）；2、定积分的计算：方法相同于不定积分+牛顿-莱布尼茨公式+积分中值定理；3、反常积分（无穷区间上的广义积分+无界函数的广义积分）；4、定积分的应用（平面图形的面积，平面曲线的弧长，旋转体的体积、旋转体的侧面积、平行截面面积已知的立体体积，物理应用）。六、常微分方程1、一阶微分方程：变量可分离，齐次微分方程，一阶线性微分

5、方程（各类方程的形式以及求解方法）；2、可降阶微分方程（n阶导，不显含y，不显含x,--不显含x,y）;3、二阶线性微分方程性质：齐次通解+非齐次特解=非齐次通解；齐次通解的求解方法：特征方程法；（解的表示）非齐次的特解假设（待定系数法）（指数+多项式+三角函数）。七、多元函数微分法及其应用1、多元函数的概念、极限、连续；2、多元函数的偏导数（偏导的定义，隐函数+复合函数的偏导，二阶偏导）；3、多元函数的全微分（可微等价定义+全微分形式不变性）连续、偏导、可微之间的关系4、多元函数的极值（一般极值，条件极值，多元连续函

6、数在有界闭区域上的最值）。八、重积分1、二重积分的概念（参照定积分理解几何意义），性质；2、二重积分的计算（直角坐标，极坐标，特殊简化运算）。3、三重积分的计算（直角：投影&平面截割；柱坐标，球坐标，简化运算）。九、无穷级数1、正项级数、交错项级数敛散性判别；2、幂级数求和（半径、收敛区间、收敛域，方法：）；3、函数的幂级数展开式。九、曲线、曲面积分1、I型曲线、曲面积分计算；2、II型曲线、曲面计算；3、三大公式(格林、高斯、斯托克斯)（条件不满足时格林、高斯的应用计算题：补线&面；挖洞）