一、假如你是高斯

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1、一、假如你是高斯(一)高斯的故事高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一。高斯十岁那年，数学老师出了一道数学题：1＋2＋3＋4＋……＋97＋98＋99＋100＝？老师刚写完题目，高斯就把写好5050的答案交给了老师，过了很长时间其他同学才写出答案。老师和同学都十分惊奇。后来高斯经过刻苦的努力，成为了世界著名的数学家。同学们想一想，假如你是高斯，你会怎样计算呢？高斯的故事给我们带来启发，要想计算得又快又巧，就必须善于观察，注意数字构造的规律。(二)几个重要概念按一定规律排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的

2、项，排在第一个位置的叫第一项，也叫首项，用字母a1表示；第二个叫第二项，用字母a2表示；第三个叫第三项，用字母a3表示；……。最后一项又叫末项，用字母an表示。对于一个数列，经常要研究它的某个项或者计算一些项的和等等。下面请同学们向小高斯那样研究一下数列的构造规律吧。(1)等差数列在一个数列中，从第二项起，每一项减去它前面一项的差全都相等，具有这样特点的数列就叫做等差数列。其中相邻两项的差叫做公差。用字母d表示。(2)通项公式如果我们把等差数列很形象的表示为如下形式：就不难发现公差的个数总是比项数少一个，每一项都可以用首项

3、加上若干个公差得到。如：a2＝a1＋1×da3＝a1＋2×da4＝a1＋3×d……an＝a1＋(n－1)×d也就是：第n项＝首项＋(项数－1)×公差这就是任意等差数列的通项公式。例1在数列2，6，10，14，18，22……中的第37个数是多少？分析：通过观察很容易发现这个数列是一个公差是4的等差数列。可以通项公式求第37个数。a1＝2，d＝6－2＝4an＝a1＋(n－1)×da37＝2＋(37－1)×4＝146练一练：1．数列1，3，5，7，9……的第2006个数是多少2．一个等差数列，首项是5，公差是7，分别求出它的第1

4、0项和第27项各是多少？3．已知等差数列的公差是3，第16项为62，求这个数列的首项。(3)求和公式从高斯求和的故事可以看出，等差数列求和的方法是通过巧妙的搭配转化成若干个相等的数求和，即转化为乘法。等差数列的求和公式是：总和＝(首项＋末项)×项数÷2用字母表示是：Sn＝(a1＋an)×n÷2例2计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝？方法一：试一试，你能用求和公式计算吗？方法二：还可以这样想。总和＝7个数的平均数？项数怎样才能很快找到平均数呢？我们可以用移多补少的办法，以中间数7为标准，5和9经过移多补少，可以看成是2个7

5、，……这样共有7个7，7的个数正好与项数同样多。所以7既是中间数又是平均数。如果项数是是奇数个，总和＝中间数×项数但是，如果等差数列的项数是偶数个，怎么快速找到平均数呢？请举例说明。练一练：1．2＋4＋6＋8＋……＋88＝？2．21＋24＋27＋30＋33＋36＋39＝？(4)项数项数是计算中一个常用的数据，当项数比较多，不易看出时，就需要求项数。还是让我们再看一看等差数列的构成。因为项数总是比公差多1个，所以只要求出末项到首项之间一共有几个公差，加上1就是项数了。所以∶项数＝(末项－首项)÷公差＋1n＝(an－a1)÷d

6、＋1当公差不知道时，也可以公式求公差。求公差的公式是：d＝(an－a1)÷(n－1)练一练：1．5＋10＋15＋20＋……＋105共有多少项？2．一个等差数列，首项是20，末项是100，共有9项，公差是几？(三)等差数列的应用在实际问题中有很多计算问题可归结为等差数列求和问题。例3求所有是7的倍数的三位数的和。分析：能被7除的三位数也就是7的倍数，自然是公差是7的等差数列。这就是一个等差数列求和的问题，观察求和公式发现必备三个：首项、末项和项数。首项：100÷7＝14……2100＋(7－2)＝105末项：999÷7＝142

7、……5999－5＝994项数：n＝(ar－a1)÷d＋1＝(994－105)÷7＋1＝128求和：Sn＝(a1＋an)×n÷2＝(105＋994)×128÷2＝70336答：所有能被7除的三位数的和是70336。练一练：1．求所有被7除余1的三位数的和。2．求所有不是5的倍数的两位数总和。例4已知等差数列3，7，11……问199是不是它的一项？如果是，是第几项。分析：只要确定199是这个数列的某一项就可以，所以此题是求项数问题。我们不妨先就假设199是这个数列的末项。项数：n＝(an－a1)÷d＋1＝(199－3)÷4＋1

8、＝50答：199是这个数列的一项，它是第50项。练一练：1．24个连续的偶数和是984，其中最大的数是多少？2．一个剧场有20排座位，后一排都比前一排多10个座位，最后一排有250个座位。这个剧场一共有多少个座位？例5扑克牌游戏：若干张扑克牌正反相间平放在桌面上，如下图。底层有35张牌，则共有多少张牌？