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1、山东政法学院教案模版授课时间第九周第1次课授课章节4.5等价关系与偏序关系任课教师及职称唐新华讲师教学方法与手段板书和电子课件结合课时安排2课时使用教材和主要参考书1、教材：耿素云等，离散数学，清华大学出版社，20082.参考书左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006教学与目的要求：掌握序偶与笛卡尔积的基本概念，并能够计算集合的笛卡尔积；掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系、复合关系的的概念，关系的表述方法，掌握关系、二元关系、空关系、全域关系、相等关系、逆关系、复合关系的的性质，能够判定
2、关系的性质（等价关系或偏序关系）教学重点、难点:重点：等价关系、等价类、商集、划分的概念，以及等价关系与划分的对应性质⑧偏序关系、偏序集、哈斯图、偏序集中的特定元素等概念④集合A上关系R的自反闭包、对称闭包和传递闭包⑤关系运算的集合恒等式或者包含式难点：关系的闭包运算；等价关系、等价类；偏序关系、偏序集、哈斯图教学内容:4.5等价关系与偏序关系一、本节主要内容等价关系商集偏序关系二、教学内容等价关系的定义与实例定义设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系.设R是一个等价关系,若
3、∈R,称x等价于y,记做x～y. 实例设A={1,2,…,8},如下定义A上的关系R：R={
4、x,y∈A∧x≡y(mod3)}其中x≡y(mod3)叫做x与y模3相等,即x除以3的余数与y除以3的余数相等.等价类及其性质定义设R为非空集合上的关系.如果R是自反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价关系.山东政法学院教案模版设R是一个等价关系,若∈R,称x等价于y,记做x～y. 实例设A={1,2,…,8},如下定义A上的关系R：R={
5、x,y∈A∧x≡y(mod3)}其中x≡y(mo
6、d3)叫做x与y模3相等,即x除以3的余数与y除以3的余数相等.A上模3等价关系的关系图设A={1,2,…,8},R={
7、x,y∈A∧x≡y(mod3)}定义设R为非空集合A上的等价关系,"x∈A，令[x]R={y
8、y∈A∧xRy}称[x]R为x关于R的等价类,简称为x的等价类,简记为[x].实例A={1,2,…,8}上模3等价关系的等价类：[1]=[4]=[7]={1,4,7}[2]=[5]=[8]={2,5,8}[3]=[6]={3,6}定理1设R是非空集合A上的等价关系,则(1)"x∈A,[x]是A的非空
9、子集.(2)"x,y∈A,如果xRy,则[x]=[y].(3)"x,y∈A,如果xy,则[x]与[y]不交.(4)∪{[x]
10、x∈A}=A，即所有等价类的并集就是A.实例A={1,2,…,8}上模3等价关系的等价类：[1]=[4]=[7]={1,4,7}，[2]=[5]=[8]={2,5,8}，[3]=[6]={3,6}以上3类两两不交，{1,4,7}È{2,5,8}È{3,6}={1,2,…,8}商集定义设R为非空集合A上的等价关系,以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集,记做A/R,A/R={[x]R
11、x∈A}
12、实例A={1,2,…,8}，A关于模3等价关系R的商集为A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}A关于恒等关系和全域关系的商集为：A/IA={{1},{2},…,{8}}山东政法学院教案模版A/EA={{1,2,…,8}}划分定义设A为非空集合,若A的子集族π(πÍP(A))满足下面条件：(1)ÏÆπ(2)"x"y(x,y∈π∧x≠y→x∩y=Æ)(3)∪π=A则称π是A的一个划分,称π中的元素为A的划分块.例1设A＝{a,b,c,d},给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：π1={{a,b,c},{d
13、}}，π2={{a,b},{c},{d}}π3={{a},{a,b,c,d}},π4={{a,b},{c}}π5={Æ,{a,b},{c,d}},π6={{a,{a}},{b,c,d}}则π1和π2是A的划分,其他都不是A的划分.为什么？等价关系与划分的一一对应商集A/R就是A的一个划分不同的商集对应于不同的划分任给A的一个划分π,如下定义A上的关系R：R={
14、x,y∈A∧x与y在π的同一划分块中}则R为A上的等价关系,且该等价关系确定的商集就是π.例2给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系求解思路：先做出A的所有
15、划分,然后根据划分写出对应的等价关系.等价关系与划分之间的对应π4对应于全域关系EA，π5对应于恒等关系IAπ1,π2和π3分别对应等价关系R1,R2和R3. R1={<2,3>,<3,2>}∪IA，R2={<1,3>,<3,1>}∪IA山东政法学院教案模版R3={<1,2>,<2,1>}
