一轮复习配套讲义：选修4-5 第2讲 不等式的证明

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1、第2讲　不等式的证明[最新考纲]了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．知识梳理1．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)

2、(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则()()≥(ibi)2，当且仅当＝＝…＝(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n)时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

3、α

4、

5、β

6、≥

7、α·β

8、，当且仅当α，β共线时等号成立．3．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．诊断自测1．已知a、b、m均为正数，且a＜b，M＝，N＝，则M、N的大小关系是________．解析　M－N＝－＝＜0，即M＜N.答案

9、　M＜N2．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．解析　分子有理化得a＝，b＝，c＝，∴a＞b＞c.答案　a＞b＞c3．若0＜a＜b＜1，则a＋b,2，a2＋b2,2ab中最大的一个是________．解析　∵a＋b＞2，a2＋b2＞2ab.又(a2＋b2)－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，∵0＜a＜1,0＜b＜1.∴a(a－1)＋b(b－1)＜0.∴a2＋b2＜a＋b.答案　a＋b4．已知x，y∈R，且xy＝1，则的最小值为________．解析　≥2＝4.答案　45．若a，b，c∈(0，＋∞

10、)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．解析　(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．∴(＋＋)2≤3.故＋＋的最大值为.答案　考点一　分析法证明不等式【例1】设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥.(2)＋＋≥(＋＋)．证明　(1)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc

11、＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2)＋＋＝.由于(1)中已证a＋b＋c≥.因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋.即证a＋b＋c≤1，即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.而a＝≤，b≤，c≤.∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.∴原不等式成立．规律方法分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找

12、证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【训练1】已知a、b、c均为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)．证明　∵a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b)．①∵(c＋a)＋(a＋b)≥2

13、＞0，(a＋b)＋(b＋c)≥2＞0.(b＋c)＋(c＋a)≥2＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证．考点二　用综合法证明不等式【例2】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.证明　(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴＋＋＝＋＋＝2＝2＝2＋4≥4＋4＝8.∴＋＋≥8.(2)∵＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8.∴≥9.规律方法利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式．【训练2】已知a，b，c∈R＋，且互不相等，且abc＝1，求证：＋＋＜＋＋.证明　法一　∵a，b，c∈R＋，且互

14、不相等，且abc＝1，∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋.∴＋＋＜＋＋.法二　∵＋≥2＝2；＋≥2＝2；＋≥2＝2.∴以上三式相加，得＋＋≥＋＋.又∵a，b，c互不相等，∴＋＋＞＋＋.法三　∵a，b，c是不等正数，且abc＝1，∴＋＋＝bc＋c