奇数与偶数（二）

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1、年级五年级学科奥数版本通用版课程标题奇数与偶数（二）编稿老师王刚一校林卉二校黄楠审核张舒上一讲我们学习了奇偶性在计算中的性质和应用，本讲学习奇偶性在杂题（组合问题）中的应用。要注意锻炼整体分析和抽象思考的能力。1.如果灯一开始是打开的，灯的开关按奇数次，会使亮的灯熄灭；按偶数次不改变灯的状态。2.一群人之间握手，握过奇数次手的人有偶数个。3.整数可以按奇偶性分成两类，任意整数必然属于其中一类。解题小技巧：操作问题常用奇偶分析去观察，由于此时只关心整数的奇偶性，所以偶数可以看成0，奇数可以看成1。例17个人之间握手，每两人之间握手次数可以超过1。是否有可能每个人的握手次数都是1

2、3？分析与解：每次握手对于握手的两个人的握手次数来说各增加1次，使得所有人的握手次数之和增加2次，所以所有人的握手次数之和应该是偶数。13×7＝91，是奇数。所以题设结论是不可能的。例2将10张卡片分别写上1、2、3、…、9、10。打乱顺序后在背面写上1、2、3、…、9、10。每张卡片正反面的两个数作差（大减小），那么得到的十个差中奇数的个数是奇数个还是偶数个？分析与解：由于整数加减法算式中改变加减号不影响结果的奇偶性，所以十个差相加，其奇偶性和下式相同。1＋2＋3＋4＋5＋…＋10＋1＋2＋3＋4＋5＋…＋10＝110。第4页版权所有不得复制十个差相加的和是偶数，所以其中有

3、偶数个奇数。例32011枚硬币正面向上，每次翻6枚，若干次后能否使2011枚硬币都是反面向上？分析与解：设翻过a个正面的，（6－a）个反面的，那么正面的硬币多了（6－a）个，少了a个。总数增加（6－2a）个，奇偶性不会变，总是奇数个。所以不能变成2011个反面。例4甲、乙、丙三人从同一起跑线起跑，甲最后起跑，乙比丙快。到达终点之前甲与乙、丙二人交换次序19次，甲跑了第几名？分析与解：甲与乙、丙二人每交换一次次序，排名的奇偶性就会改变一次。开始时第三名是奇数，交换19次后排名为偶数，甲只可能是跑了第二。例5设有n盏亮着的拉线开关灯，规定每次需拉动n－1个拉线开关，试问：能否把所

4、有的灯都关闭？试证明你的结论或给出一种关灯的方法。分析与解：当n为奇数时，由于每盏亮着的灯被拉动奇数次能关闭，因此要把所有灯关闭，总拉动开关次数应是奇数个灯被拉动的次数之和，即奇数个奇数的和，它的结果是奇数，但n－1是偶数，按规定只能拉动任意的偶数次开关，故无论如何都不能把全部亮的等都关上。当n为偶数时，把n盏灯编号为：1、2、3、4、…、n。第一次1号灯不动，拉动其余n－1个开关；第二次2号灯不动，拉动其余n－1个开关；……第n次n号灯不动，拉动其余n－1个开关；这样每盏灯均被拉动n－1次，是奇数次，可用这种方法把全部亮着的灯关闭。（答题时间：30分钟）1.有17人参加乒乓

5、球单打赛，若每人都比赛3场，可能吗？为什么？2.如图所示，共有9个房间，每个房间都与隔壁的房间相通，问能否从1号房间出发，不重复地走遍所有房间再回到1号房间？3.在8个房间中，有7个房间开着灯，一个房间关着灯。如果每次同时拨动4个房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？第4页版权所有不得复制4.有一批学生彼此写信，并且每个人只要接到对方的来信就一定回信，那么写了奇数封信的学生有奇数个人还是偶数个人？5.有大、小两个盒子，其中大盒内装51枚白棋子和50枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。阿丽每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑

6、棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中的白棋子放回大盒内。问：从大盒内摸了99次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？它们都是什么颜色？第4页版权所有不得复制1.解：每人比3场，17个人共打了17×3＝51（次），而两个人才能打一场比赛，这一场比赛分别计算到两个人身上一次，所以17个人打的总次数应该是偶数，而51不是偶数，所以这种情况不可能。2.解：我们发现奇数号房间的隔壁必为偶数号房间，偶数号房间的隔壁必是奇数号房间，所以在行走时只能从奇数号房间走入偶数号房间，再由偶数号房间进入奇数号房间，所以行走路线是“奇—偶—奇—偶—奇—偶—奇—偶—奇”，从中发现最后走进的是奇数号房间，

7、所以是没有办法从此房间回到1号房间的(奇数号房间)。3.解：按要求每次拨动4个不同房间的开关，而4是偶数，所以，这样的一次操作，拨动房间开关的次数便是偶数次，那么经过有限次拨动后，拨动各房间的开关次数的总和是偶数。若要使7个房间的灯由开变关，需拨动各房间开关奇数次；第8个房间的开关仍为关，需此房间拨动开关偶数次，这样拨动开关的总次数是奇数个奇数与一个偶数的和，它是奇数。所以，按题给要求不能把全部房间的灯都关上。4.解：设有k个学生写了奇数封信，分别为封，其中均为奇数；又设有s个学生写了偶数封信，分别为封