行走问题数学建模

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1、对人行走问题的探究摘要本论文主要讨论人在行走时在做功最小的准则下，每秒钟走几步最合适的问题。为了简化对问题的分析过程，我们将人走路时的状态单纯的看做重心不断上下移动的过程，而且走路的整个过程看作是匀速的，也就是说，人走路作的功为太高人体重心所需势能与两腿运动所需动能的和，而忽略人体外部和内部消耗的其他形式的能。在计算人体重心升高的过程中，我们运用物理模型分析人体走路的分解动作，人行走分为双腿重合和双腿分开两种情况，在知道步长和腿长的前提下，运用勾股定理，用双腿重合时的重心高度减去双腿分开时的重心高度即为人在行走过程中重心的升高。在知道重心的升高后，又知道行走的速度，这样我们很容易就可

2、以求出单位时间行走需要的动能。在计算频率的时候，我们分别两种不同假设的前提下建立两种模型，一种是假设将腿看做均匀直杆，行走看做时腿绕腰部的转动，另外一种是将腿的质量集中在脚部，行走看做是脚的直线运动。这两种模型建立后，在速度一定时，求出在做工最小的准则下，每秒应该走的步数，即行走的频率，结果发现，在假设二，也就是将腿的质量集中在脚部时，所得的频率更加符合实际情况。在解决题中的问题后，我们又对模型进行了进一步的分析，找出缺点和不足，分析模型的实际性，并且对模型进行了进一步的推广，希望能在实际中有更加广泛的应用。关键词：行走转动惯量作功最小转动动能8一、问题的重述在如此快节奏的社会中，无

3、论是生活，工作还是学习都追求高效率，走路也不例外，我们也力求最优方式。走的太快就会气喘吁吁，可是走得越慢就越省力吗？现实中的经验告诉我们并非如此。那我们每秒钟应该迈几步更为合适呢？对于不同的人走路方式是否应该有所区别呢？那么接下来我们就对走路这个过程做一些探究与分析。（1）计算人体重心在行走时升高多少。（2）将腿看做均匀直杆时，行走腿绕腰部的转动，求单位时间所需动能。（3）求在速度一定时，每秒行走几步作功最小，分析题中答案是否合理。（4）将（2）中的假设修改为：腿的质量集中在脚部，行走看做脚的直线运动，证明题中给出结果是否合理。二、问题的分析为了简化研究模型，我们可以忽略次要因素，将

4、人的行走时作的功看作是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和，而且整个过程中在此基础上建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适。对于问题（1）由于知道了步长和腿长，又由简化图分析可以知道，运用勾股定理可以求出在双腿分开和重合时候的高度差，即人体升高的高度。对于问题（2），是在将腿看作是均匀直杆的假设的前提下，行走看做是腿绕腰部的转动，行走速度又已知，可以运用物理中关于转动惯量的知识来求出转动动能。在（2）中已经求出单位时间所需动能，问题（1）中也知道了人体重心的升高高度，那么人体消耗的总能量即势能和动能的和，关系式通过平方差公式可以知道在总能最小的准则下，每秒应该走的步数，

5、那么就解决了问题（3）中的问题。可是结果发现，结果并不符合实际。对于问题（4）则是换成了另外一种假设，将腿的质量完全集中在脚部，行走看做脚的直线运动，依然运用转动惯量的知识求出每秒应该走的步数，结果可以发现，与第一次假设相比较，假设二更加符合实际情况。三、基本假设1、人行走时做的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。2、人匀速行走，其他对步速匀速造成影响的因素全部忽略。3、人与人之间没有显著的个体差异，走路方式相同，也不考虑路面及其他状况对模型的影响。4、在模型I中将行走看作是腿绕腰部的转动，将腿看作均匀直杆。5、在模型II中假设腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。四

6、、符号说明腿长步长8人体重心升高腿的质量人体质量行走速度（匀速）转动动能腿单位时间作功一、模型的建立与求解5.1针对问题（1）：计算人体在行走时重心升高，分析如右图所示，人体行走时分为两腿分开和两腿重合部分，人体重心上下不断改变，两腿互相交替，从而达到前进的目的。如图：人行走时运动状态可进一步简化为如下图所示：8图中圆圈部分表示人体重心位置。当两腿分开时，腿根部距离地面：，当两腿重合时，腿根部距离地面：，所以重心的升高为：，将上式进行分子有理化可得：，又因为，，所以。5.2针对问题（2）计算人行走时两腿运动的功率建立模型I：将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的运动，设腿的质量，行走速

7、度，由物理学知识可以知道，两腿的转动动能等于转动惯量与转动角速度平方乘积的一半，即：，8所以转动动能，人每行走一步所花时间为，所以两腿运动的功率为：，与题中所给结果一致，所以单位时间所需动能为。5.3针对问题（3）同样在模型I的基础上求解：假设人在作功最小的准则下的行走频率也就是每秒走的步数为，因为每步的步长为，所以每秒钟行走的路程为，单位时间的路程即速度，所以，那么两腿单位时间的运动动能为，单位时间内人体抬高重心所需势能为，人行走单位时间所做的总功为动能