对非齐次偏微分方程的求解 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题

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1、对非齐次偏微分方程的求解齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题对非齐次偏微分方程的求解齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题（一）冲量定理法（二）傅立叶级数法齐次边界条件下非齐次场位方程的混合问题（一）方程和边界条件同时齐次化非齐次方程的求解思路?用分解原理得出对应的齐次问题?解出齐次问题?求出任意非齐次特解?叠加成非齐次解方法一冲量定理法前提条件：除了方程为非齐次的外，其它定解条件都是齐次的(初始条件均取零值)。基本思路：利用叠加原理将受迫振动的问题转化为（无穷多个）自由振动问题的叠加.?utt?a2uxx?f(x,t)???ux?0?0,ux?l?0???ut?0

2、??(x),utt?0??(x)试设u?u1?u22??2u12?u1,?2?a2?x??t?u1(x,0)?u(x,0)??(x),??(x),?1?t??u1(0,t)?0,u1(l,t)?02??2u22?u2?f?x,t?,?2?a2?x??t，??u2(x,0)u(x,0)?0,?0,?2?t??u2(0,t)?0,u2(l,t)?0.物理意义：在时间0—t内，可以把非齐次项（单位质量所受的持续作用力）看成许多前后相继（无穷多个）的“瞬时”力引起的物理过程的线性叠加。12??2?2??,t???2?a2?x??t???0,?tt???f(x,?)d?,?t?

3、????x?0?0,?x?l?02??2v2?v,t???2?a2?x??t?v?0,vtt???f(x,?),?t???v?0,v?0x?l?x?0相应的，我们也可以把位移u(x,t)也表示为u2(x,t)??v(x,t;?)d?，0t则v(x,t;?)d?就应当是瞬时力所产生的位移.更进一步说，v(x,t,?)就是定解问题2??2?2??,t???2?a2?x??t???0,?tt???f(x,?)d?,?t?????x?0?0,?x?l?02??2v2?v,t???2?a2?x??t?v?0,vtt???f(x,?),?t???v?0,v?0x?l?x?0的解.

4、非齐次项只存在于?时刻，其全部效果只是使得弦在?时刻获得一个瞬时速度.那么由偏微分方程的积分??推导出??0?02??0?v??0?2v2?a???f(x,?)?(t??)d???0?x2??0?t2?v(x,t,?)?tt???0?f(x,?)令t1?t??则定解问题就可以写成这种形式（t???0简写成t??）2??2v2?v,t???2?a2?t?x?1?v?0,vt1?f(x,?),t1?0?t1?0??vx?0?0,vx?l?0在运算过程中，十分需要注意的是，瞬时力的重复计算，不能把瞬时力既算入定解方程的其次项内，又算入初速度内！总结一下，在上面的过程中，冲量

5、定理就把求解非齐次方程、齐次边界条件以及齐次初条件的定解问题转化成了对齐次方程、齐次边界条件的定解问题的2求解，最后将其叠加?vt?n?a?n?n(x,1)??n?1??Bn(?)sinlt1??sinlx?vx,t)????Bn?a?n?n(n(?)sin?t???sinxn?1?l??l其中Bn(?)?2ln?a?0f(?,?)sinn?l?d?ut?tn?a2(x,t)??0v(x,t;?)d????0Bn(?)sinl(t??)sinn?lxd?n?1?u1(x,t)??(Cn?alt?Dn?al)sinn?ncosnsintlx(n?1,2,3,?)n?1u

6、?u1?u2例题1求定解问题?2u2?t2?a2?u?x2?A0sin?t，0?x?l，t?0，ux?0?0，ux?l?0，t?0，ut?0?0，?u?tt?0?0，0?x?l,其中，a、A0、?均为已知常数解：用冲量定理法进行求解，此时的v(x,t;?)应当满足定解问题?2v2?t2?a2?v?x2，0?x?l，t??，vx?0?0，vx?l?0，t??，vt???0，?v?tt???A0sin??，0?x?l，即可得出定解问题的一般解?v(x,t;?)????Cn?t??)?Dn??n?nsina(ncosa(t??)n?1?ll??sinlx3根据题意条件可得D

7、n?0，Cn?2n?aA0sin???sin0l2A0ln??xdx?1?(?1)n?2??sin??l(n?)a所以，综上可得u(x,t)??v(x,t;?)d?0t4A0l?12n?12n?1?2?sin?x?sin??sin?a(t??)d??0?an?0(2n?1)2llt4A0l2?2?a112n?1sin?x?222(2n?1)ln?0?(2n?1)?a??(?l)???(2n?1)?asin???(?l)sin??2n?1??at?l?方法二：傅立叶级数法前提条件：齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题，必须是齐次的边界条件中心思想：首