解析几何中最值问题的解法解析几何的最值问题是数学竞赛和高考

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1、解析几何最值问题的解法上海市松江一中陆珲解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法：1、化为二次函数，求二次函数的最值；2、化为一元二次方程，利用△；3、利用不等式；4、利用函数的单调性和有界性；5、利用几何法。在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，方便解题。例题1：如图已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值。[分析：如图先让

2、点在椭圆上固定，显然通过圆心时最大，因此要的最大值，只要求的最大值。]解：设点坐标，则①，因点在椭圆上，故②把②代入①得点在椭圆上移动，时，说明：此解法就是典型的运用化为二次函数，通过求二次函数的最值来解决问题。但是在利用二次函数求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得的模式，首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域内，若在，则可套用，若不在，则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。例题2：如图，定长为3的线段的两端在抛物线上移动，且线段中点为，求点到轴的最短距离，并求此时点的坐标。[分析：点到轴的最短距离，即求点横坐标的最小值。]解法一：化为一元二次方程，利用△设则①

3、②③④⑤③④代入⑤，整理得，即⑥由①③④得⑦②代入上式得⑧②⑦⑧代入⑥并整理得⑨，△，即，将代入⑨得所以中点到轴的最短距离是，相应的点的坐标为或说明：此类解法是学生比较容易掌握的方法，解题时将未知的元素都进行适当的假设，并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二次方程，利用△计算。在运用此法时，不仅要判断方程是否有解，还应注意方程解的特点，如正负根等，此时可进一步应用方程的根与系数的关系（韦达定理）等进行讨论和判断。同时，此类解法字母较多，计算量大，解题时应更加仔细。解法二：利用不等式同解法一，得⑨，整理得，以下同前。说明：利用不等式性质（时等号成立）的解法也是比较

4、常用的解题方法，但是应用时应该考虑不等式性质成立的前提和性质的特点，在进行计算式变形时目的要明确，同时等号成立是变量的取值要关注到位。若题设条件无法在时取得最值，则应利用函数的单调性和有界性求得最值。解法三：几何法如图设，则以为直径的圆为准线上离圆最远的点代入上式得，故准线与圆相离或相切，又圆半径为，圆与准线相切时，即时，点到轴的最短距离是，即点横坐标的最小值为点的纵坐标所以点的坐标为或说明：利用几何法的前提是对曲线的概念和性质有充分的理解，并对题设条件具有相当的迁移能力。例题3：在半径为的圆中，，点为上一动点，过点作的垂线交于点，求△的面积最大值。[分析：通过建立函数关系

5、式，利用函数求最值的方法解决问题]解法一：如图，以圆心为坐标原点，过平行于的直线为轴建立平面直角坐标系。因为△为等腰直角三角形，所以坐标为设点坐标，当，即时解法二：如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系。因为△为等腰直角三角形，所以圆心坐标为，圆方程为，即设点坐标，则点的坐标满足上式，当时，说明：通过以上两种解法可见，不同的坐标系的建立方法对解题模式的影响是巨大的，虽然解法二也可用参数方程，但显然计算很复杂。并且以上两种解法均混合运用了二次函数、参数方程、几何法等多种解题方法。所以，在解题时我们应综合分析题意，就能选择出恰当的角度和方法来解决问题。