高数单元测验(三)答案

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1、…………………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线…………………………………………….学院：专业年级：　　　　　姓名：　　　　　学号：　　　　　……………………………...….密………………………………………...………封…………………………………………………线………………..………………………….…中国矿业大学(北京)2009级《高等数学单元测验三》试卷得分：一、填空题（每空3分，共34分（第10题4分））1.已知则。2.向量在向量上的投影等于。3.平面曲线绕轴旋转一周所生成的曲面方程为。4.曲线在xoy平面上的投影曲线为。5.过点

2、且与向量及平行的平面方程为。6.2。7.设，则。8.设函数具有二阶连续偏导数，则。9.设，则。10.设，则，沿梯度方向的方向导数=。二、计算题（每题9分，共36分）1.求过点且与直线垂直相交的直线方程。解：过点且与直线垂直的平面为：即：，则直线与平面的交点为：，，故交点，而，因此可取直线的方向向量，得所求直线方程为：2.设，试求。解：记，则，所以。3.设，求。解：对上述方程组两边对求导得由上式可得：4.求曲线上一点处的切线方程，且此切线与平面平行。解：曲线在点处的切向量为，平面的法向量为，依题意，故，即：，解得，因此，过点的切向量为，所求切线方程为：一、（5分）求锥面与柱面所围立体在面上的投

3、影区域，并画出此投影区域。解：在面上，立体由3个曲面围成，其交线在面上的投影为面上的曲线：所围的区域，即：.二、（10分）设，证明在点处连续且偏导数存在，但不可微分。证明：令，则当时，所以在点处连续。（解法二：由于所以，，因此在点处连续。）因此在点处偏导数存在。由于，不同，上述极限则不同，因此上述极限不存在，当然不趋于零，所以在点处不可微分。一、（15分）在椭球面第一卦限部分上求一点，使得椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。解：过点的切平面的法向量为，切平面的方程为：，即：由于点在椭球面上，所以，代入上式得切平面方程为：，平面在三个坐标轴上的截距分别为：则问题转化为求在附

4、加条件下的最小值问题。作拉格朗日函数解方程组，得由实际问题可知最小值一定存在，而点为唯一的驻点，故为所求的切点。