11讲二项式定理教师

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1、二项式定理高考试题的常见类型及解法二项式定理揭示了二项式的幂展开式在项数、系数以及各项中的指数等方面的联系,二项式定理的应用及二项式系数的性质是高考的必考内容之一,考查题型主要是选择题和填空题,多为容易题.本文将对近三年全国及各省市高考中有关二项式定理的试题进行分类与解析,揭示其解题的一般规律,以扩大读者的视野，同时也会对2007年参加高考的考生有所借鉴.1.求展开式中某一项的系数此类问题主要分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同.常规解法是利用通项公式,再求其系数.例1解:由28.28.例2在的展开式中,含的项

2、的系数是()A、74B、121C、D、解：由等比数列求和公式得：原式=.要求展开式中的项的系数,即求与的系数的差.而=,的项为=.在的展开式中,含的项的系数是.例3在的展开式中，的系数为.解：，令,,所以的系数为.例4在的展开式中，的系数中（用数字作答）.解:，令,,所以的系数为.2.展开式中的某一项此类问题的常规解法是直接利用通项公式求解.例5的展开式中常数项为()A、14B、C、D、解:设展开式中第项为常数项,则=.令,,故选(A).例6Ⅰ)的展开式中常数项为.(用数字作答)解:设展开式中第项为常数项,则=.令

3、,.例7已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是()(A)－1(B)1(C)－45(D)45解:,因为展开式中第三项与第五项的系数之比为，,化简得:,.令,则,.例8(2x－)6展开式中常数项为.(用数字作答)解:设展开式中第项为常数项,则=.令,则..3.求展开式中幂指数为整数的项数此类问题的常规解法是将展开式的通项整理,令其幂指数为整数,从而求出项数.例9的展开式中,含的正整数幂的项数共有.解:设展开式中第项的幂为正整数,则==.依题意,,.即的展开式中,含的正整数幂的项数共有3个.例1

4、0的展开式中,的幂指数是整数有()A.3项B.4项C.5项D.6项解:设展开式中第项的幂指数为整数,则==.依题意,,.即的展开式中,的幂指数是整数有5个,故选C.4.求展开式中某些项的系数和此类问题的常规解法是赋值法.例11若,则+=_________.(用数字作答)解:令,令+=1.+=+.5.求二项式中参数的值此类问题的常规解法是直接利用展开式的通项公式,根据题意建立方程,求出参数的值.例12若在解:展开式的通项.令..例设常数，展开式中的系数为，则＝_____。解：，由,.例13在的二项展开式中，若常数项为

5、，则等于（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解:,因为展开式中常数项为，,解之得:,故选B.6.求两个二项式积的展开式中某一项的系数此类问题的常规解法是利用两因式展开式相应项系数配对的方法.例14在()A、B、C、D、解:由题意知:只须求出.分别为.:.故选(B).典型例题一例1在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的得系数为：，由已知：，∴通项公式为为有理项，故是4的倍数，∴依次

6、得到有理项为．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为．典型例题四例4（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）展开式中的可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用展开式中的常数项乘以展开式中的项，可以得到；用展开式中的一次项乘以展开式中的项

7、可得到；用中的乘以展开式中的可得到；用中的项乘以展开式中的项可得到，合并同类项得项为：．（2）．由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5求展开式中的系数．分析：不是二项式，我们可以通过或把它看成二项式展开．解：方法一：其中含的项为．含项的系数为6．方法二：其中含的项为．∴项的系数为6．方法3：本题还可通过把看成6个相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，项可由下列几种可能得到．5个因式

8、中取x，一个取1得到．3个因式中取x，一个取，两个取1得到．1个因式中取x，两个取，三个取1得到．合并同类项为，项的系数为6．典型例题六例6求证：（1）；（2）．分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二