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《清华大学 计算流体力学讲义 第二章 理论基础(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第二章有限差分法理论基础有限差分方法是计算流体力学中应用最多的离散化数值方法；作为计算技术它是历史最悠久，理论上相对成熟的数值方法。$2.1有限差分离散化方法l一个定解的流体动力学问题的数学描述；解法:⑴理论（解析）解⑵差分数值解；方程的离散，求解域（时+空）的离散，代数方程的求解，求解域的离散化——差分分割。l分割尺寸（空间网格步长，时间步长）l（网格）结（节）点，（网格）单元l（边界外）虚网格点——网格沿拓。微商（偏导数）的差商近似1）。差商近似；一阶，二阶导数的偏心差，中心差格式l一阶微商的定义；若取消取极限过程，用，代替就是一种差商近似。称为差分格式，2）。
2、差分格式的导出方法a).Taylor’s公式；T.E=TruncationError采用差分格式中的记法；其中由于T.E.是为一阶小量，故上述差商近似（差分格式）称为一阶（精度）格式类似地可得；(后差)（中心差）；（二阶导数中心差；等网格步长）3．差分算子l定义以下差分算子；移位算子：（当移位为+1时可省略）算术平均算子：前差算子；后差算子；一倍步长中心算子：两倍变长中心差算子；讨论：l定义的上述差分算子，可建立彼此间的转换关系，例；l所有的差分算子均可用Taylor展开来估算截断误差项(余项)的量阶例;*微分算子与差分算子的联系记微分算子:由Taylor公式:或类
3、似地或或以作为步长由此，再根据差分算子之间的转换关系，可以建立微分算子与其他差分算子的联系例1；例2；紧致格式的引入由微分算子与差分算子的关系有；另一方面；由于算子最多都是只用到三个节点上的函数值，所以是仅用三点构造出了4阶精度格式，而一般地三节点格式的精度只有二阶。故称紧致格式作业例3；类似由可导出二阶偏导数的紧致格式为；例4；紧致格式应用；令实际计算中分两步上述例4实际上已经涉及微分方程的差分离散化了；或者说是直接采用差商逼近代入相应的微分方程后直接得到离散化后的微分方程。三，偏微分方程的差分离散化――――差分方程1.直接用差商逼近代入;微分方程中的所有各阶偏导
4、数分别选择适当的差商逼近,并考虑逼近的截断误差精度,从而将微分方程改写为代数的差分方程;同时得到整个差分方程对微分方程的逼近的精度.2.由微分方程出发直接建立差分方程的几个方法,待定系学数离散化方法;对于,若设是采用三节点格式,即采用而L(u)(二阶偏导数以下)采用三节点格式,即采用即令;为了确定，可用Tayloy展开,并与对比,使相应的偏导数项的系数相等;若为二阶算子,则偏导数有0阶,一阶和二阶三项,可建立三个方程式,正好确定三个系数，而三阶以上的偏导数项则归到误差项中；而如果有三阶（或更高阶的）导数，则三节点格式不够，应增加节点数，才能将待定系数确定。多项式拟合
5、法例方程该方程具为特征性质，特征线为、在计算求解域中、斜率为DD点值按特征关系应与P点的值相等CBAPn+1n（PD为特征线，斜率为）j-1j+1jJ但在差分计算中，求解域的离散形成的网格点是A、B、C等·P点可能并不是网格点）点的值，也就是P点的值必须由A、B、C等各点的值来获得。i)采用A.B两点线性拟合,得到P点（即D点的值）线性插值的值;记上式为：或(FTBS格式)，当时迎.风仍然采用线性拟合,但采用A.C两点进行插值整理;或—Lax格式.线性拟合，采用B.C两点外插:(思考)抛物线拟合，用A.B.C.三点的值进行二次曲线拟合：设：过A、B、C三点的值，为二
6、次抛物线A、B、C三点的x坐标可以简单地给为，有整理得；——Lax-Wendroff格式其出发方程可认为：分裂差分算子的离散化方法l若微分方程中的微分算子可作“和”分裂,即则微分方程的差分方程可由依序离散构成.即分裂式(2)应由(1)式得到的差分解”续接”计算(反之亦可)例:“和“式分裂为可按下列格式计算（例取FTCS格式）step1:step2;其中：这种处理的理论依据是：由以上两步,可消去中间步结果即最后一项容易验证对于时间前差格式：上述格式与源方程的误差项同阶，可并入T.E.考虑,而不影响差分的最后精度。证毕。积分控制元中的离散化方法对于守恒型(散度型)方程,
7、除了可以在网格点上考虑网格点函数值之间的差商关系（代替微分）,从而建立差分方程外;还可以在积分控制体的有限体积内建立相应的离散积分关系,从而得到积分型的离散方程.例,对于守恒型方程令由此，在任何有限域内：xyt若求解域离散为；上式中最后一项是四个侧面的相关积分，四个侧面上的积分值可以分别计算。侧面面积与网格步长相关（，而每一个侧面上的值（在有限体积方法中，变量的值一般定义在体积单元的几何中心，而不在单元的侧面上）可以考虑各种不同的逼近方式，从而形成不同的格式，（类似地，的取值也可以考虑不同的逼近方式）四).边界条件（定解条件）的离散化处理第一类边界条件第二，三类
