第11章 振动与波动_讲义

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1、第11章振动与波动第一节谐振动一般地说,任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为振动。振动有机械振动、电磁振动、光振动…...。本章着重研究机械振动。物体在一定的位置附近作往返运动，称为机械振动。振动中最简单最基本最有代表性的是简谐振动。振动的传播就是波。在弹性介质中发生的波动，是依靠弹性介质质点的机械振动而产生和传播的，因而称为机械波，或弹性波。并不是所有的波都依靠介质传播，光波、无线电波可以在真空中传播，称为电磁波。微观粒子也有波动性，这种波称为实物波或德布罗意波。研究谐振动的意义在一切振动中，最简单和最基本的振动称为谐

2、振动任何复杂的运动都可以看成是若干谐振动的合成一.谐振动的基本特征1、弹簧振子O点为小球水平方向不受力的位置，称为平衡位置。B→O：弹性力向右，加速度向右，加速；O→C：向左，向左，减速；C→O：向左，向左，加速；O→B：向右，向右，减速。物体在B、C之间来回往复运动物体作谐振动的条件物体的惯性——阻止系统停留在平衡位置作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置2、弹簧振子的动力学特征取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为x轴的正方向。小球所受力的大小与它的位移的大小成正比，力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为线性回复力。，

3、，若令，则，，这就是谐振动方程的微分形式3、谐振动的运动学特征谐振动微分方程的解为：说明：物体在谐振动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的.1、从受力角度来看——动力学特征2、从加速度角度来看——运动学特征3、从位移角度来看——运动学特征说明：要证明一个物体是否作谐振动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；要证明一个物体是否作谐振动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。二、描述谐振动的特征量谐振动方程是1、振幅——A振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。振幅恒为正值，单位为米(m

4、);振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。2、周期定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位为秒(s)频率定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用ν表示，单位为赫兹(Hz)。角频率定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad.s-1)。说明谐振动的基本特性是它的周期性周期、频率或角频率均由振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有角频率。对于弹簧振子谐振动的表达式可以表示为3、相位和初相位相位初相位对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方

5、程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐振动的三个特征量。4、常数A和j的确定说明：(1)一般来说j的取值在－π和π(或0和2π)之间；(2)在应用上面的式子求j时，一般来说有两个值，还要由初始条件来判断应该取哪个值；(3)常用方法：由求A，然后由两者的共同部分求j。三.谐振动的描述1.解析法：角频率w由谐振系统确定。对弹簧振子：顺便指出，弹簧的串联和并联公式与电阻的串联和并联公式是相反。例如:一根倔强系数为k的轻弹簧,减去一半后,倔强系数是多少?，振幅A和初相j由初始条件(即t=0时刻物体的运动状态)来确定：

6、当t=0时，2.矢量图解法——旋转矢量法矢量OM绕O点以角速度w作逆时针的匀速转动,端点M在x轴上的投影点(p点)的位移：显然，p点的运动就是谐振动。矢量OM与x轴正方向间的夹角：(wt+j)à相位,OM转一圈,就是谐振动的一个周期T。3.振动的超前与落后设有两个同频率的谐振动：x1=A1cos(wt+j1)x2=A2cos(wt+j2)四、谐振动的能量x=Acos(wt+j)u=-wAsin(wt+j)振动势能：振动动能：对弹簧振子(任何一个简谐振动也都可以等效为一个弹簧振子)，有k=mw2.总能：=恒量1.由上面可以看出,谐振系统的

7、动能和势能都随时间t作周期性的变化；而且,动能和势能的周期为其振动周期的二分之一。势能最大时,动能最小;动能最大时,势能最小。但系统的总机械能守恒。2.平均势能：平均动能：3.振动势能与弹性势能不一定相同。振动势能：其中x是对平衡位置的位移。弹性势能：其中x是弹簧的伸长量。可见，单摆系统的动能和势能都是时间的周期函数单摆系统的总能量为：上式说明，尽管在单摆系统的谐振动过程中，系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量式恒定不变的，并与振幅的平方成正比。第二节振动的合成和分解一、两个同方向同频率谐振动的合成分振动：x1=A1cos(wt+

8、j1)x2=A2cos(wt+j2)合振动：x=x1+x2=A1cos(wt+j1)+A2cos(wt+j2)利用三角公式或旋转矢量可求得合振动:x=x1+x2=Acos(wt+