反证法逻辑原理 孙贤忠

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1、反证法逻辑原理即证“完备性前提下的原命题的逆否命题”作者:孙贤忠(湖南省长沙市第七中学邮编:410003)【摘要】:阐明反证法的定义、逻辑依据、证明的一般步骤、种类,探索其在中学数学中的应用。这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题:若A则B为真,这只是简洁的形式,因为若A则B为真,其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实,乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真,否则绝不可能推出结论B为真。【关键词】:反证法证明矛盾逆否命题一反证法出现反证法(ProofsbyContradiction,又称归谬法、背理法),是一种论证方式,他首

2、先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说明假设不成立,原命题得证。反证法常称作Reductioadabsurdum,是拉丁语中的“转化为不可能”,源自希腊语中的“ἡειςτοαδυνατονπαγωγη”,阿基米德经常使用它。 二反证法所依据的逻辑思维规律 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说“A或者非A”,这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到矛

3、盾的判断,根据“矛盾律”,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。反证法是“间接证明法”一类,是从反方向证明的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括:“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反证法就是从反论题入手,把命题结论的否

4、定当作条件,使之得到与条件相矛盾,肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时,一定要用到“反设”,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。7反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需要运用反证法,此即所谓"正难则反"。三反证法所依据的逻辑基础牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲,反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而

5、逆否命题则比较浅显的题目,问题可能解决得十分干脆。反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始,得出矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是:欲证“若P则Q”为真命题,从相反结论出发,得出矛盾,从而原命题为真命题。反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论,为什么?这个结论可以用穷举法证明:某命题:若A则B,则此命题有4种情况:1.当A为真,B为真,则A→B为真,﹁B→﹁A为真;2.当A为真,B为假,则A→B为假,﹁B→﹁A为假;3.当A为假,B为真,则A→B为真,﹁B→﹁A为真;4.当A为

6、假,B为假,则A→B为真,﹁B→﹁A为真;∴一个命题与其逆否命题同真假与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.这实际上就是在证“完备性前提下的原命题的逆否命题”了。一个命题:若A则B为真,这只是简洁的形式,因为若A则B为真,其本身就还含有所有的已知定义,定理,大家都知道的事实,乃至正确的逻辑推理等等一切必须为真的系统性条件为真,否则绝不可能推

7、出结论B为真。这样就有命题:若A则B为真,应该完备成命题:若A且C(定义)且D(定理)且E(正确的逻辑推理)且F(客观事实)以及且……则B。于是逆否命题就是:若﹁B,则﹁A或﹁C(定义)或﹁D(定理)或﹁E(正确的逻辑推理)或﹁F(客观事实)以及或﹁……,逆否命题至少有一个,证出一个就可以了。在数学的证明中,经常运用反证法。在命题逻辑推理中,反证法是证明一个公式是某个前提集合的有效结论的逆否命题。设A1,A2,…,Am是命题公式,如果A1ÙA2Ù…ÙAm是可满足的,称A1,A2,…,Am是相容的。如果A1ÙA2Ù…

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