函数的幂级数的展开与技巧

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1、1引言函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。2泰勒级数泰勒定理指出：若函数在点的某个邻域内存在直至阶的连续导数，则，(1)这里=称为皮亚诺型余项。如果增加条件“有阶连续导数”，那么还可以写成三种形式（拉格朗日余项）（柯西余项），（积分型余项）如果在(1)中抹去余项，那么在附近可用(1)式中右边的多项式来近似代替。如果函数在处有任意阶的导数，这时称形式为：(2

2、)的级数为函数在的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在附近确切地表达，或说在泰勒级数在附近的和函数是否就是，这是我们现在要讨论的问题。下面我们先看一个例子：１５例1由于函数在处的任何阶导数都为0，即所以在处的泰勒级数为：，显然，它在上收敛，且其和函数，由此看到对一切都有，这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有时才能够。在实际应用上主要讨论在的展开式。这时（2）也可以写成，称为麦克劳林级数。3函数的幂级数展开与技巧3.1一般的泰勒展开法（直接展开法）我们主要通过例题来表现幂级数的展开与技巧：首先用直接展开法讨论初等函数的幂级数展开形式。通常有三种展

3、开思路：1、统一用柯西余项来估计余项；2、统一用积分余项来估计余项；3、柯西余项（或积分余项）结合拉格朗日余项来估计余项。本文采用第二种思路。例2求次多项式，的展开式。解：由于１５总有，因而，即多项式函数的幂级数展开就是它本身。例3求函数的展开式。解：因为，，有，；从而，。例4求函数的展开式。解：由于，，有１５，；所以在内能展开为麦克劳林级数：；同样可证（更简单的方法是对上面的展开式逐项求导）：。例5求函数的展开式。解：注意到，函数的各阶导数是，从而，有；注意到，当或时，不变符号且关于变量单调，因此总是在时取最大值，从而，；所以的麦克劳林级数是，(3)用比式判断法容易求得

4、(3)的收敛半径，且当时收敛，１５时发散，故级数域。将(3)式中换成就得到函数在处的泰勒展开式：，它的收敛域为。例6讨论：二项式函数展开式。解：当为正整数时，有二项式定理直接展开得到的展开式，这已经在前面例2中讨论过了。下面讨论不等于正整数时的情形，这时：，，，；于是的麦克劳林级数是，(4)运用比式判别法可得(4)的收敛半径。设（由二项式定理易证的情形），有，。由比式判别法知级数收敛，故通项趋于,因此１５。所以，在上有，(5)对于收敛区间端点的情形，它与的取值有关，其结果如下：当时，收敛域为；当时，收敛域为；当时，收敛域为；在(5)式中，令就得到，(6)当时，得到。(7)

5、例7以与分别代入(6)(7)得到，(8)，(9)对于(8)(9)分别逐项可积，可得函数与的展开式，，。这说明，熟悉某些初等函数的展开式，对于一些函数的幂级数展开是极为方便的，特别是上面介绍的基本初等函数的结果，对于用间接方法求幂级数展开式特别有用。１５3.2通过变形、转换、利用已知的展开式例8将函数展开式的幂级数并指出收敛半径。分析：将变为的形式。解：因为，。例9求的麦克劳林展开式（至含的项）。解：由于，故，因故收敛区间为。例10将展开成的幂级数（至含项）。解：由的展开式得。１５3.3利用逐项积分方法例11将函数展开成的幂级数，并求其收敛区间。分析：该题可化为的形式展开，

6、但这样的展开式中变成的幂次，而不是的幂次，我们知道：，将展开再积分就方便了。解：因为，而，，，对上式两端积分可得：，当时，上式为交错级数，，显然有且，依莱布尼茨判别法知：当时，级数收敛，因此收敛区间为。１５3.4逐项微分法例12将展开成的幂级数。分析：先展开，再逐项微分。解：因为，注意到，所以，。例13将展开成的幂级数。解：因为，，所以。注：值得注意的是逐项积分法或逐项微分法，常常在区间内部进行，但并不是绝对的，这里就不再证明了。3.5待定系数法例14求下列函数的幂级数展开。（1）；（2）。解：(1)设，１５因为，所以，故即，比较系数得：，，，，由，得：，，，，从而，。(

7、2)设，则１５，比较等式两边同次幂系数得：，，，，这里利用了三角恒等式，所以。3.6微分方程法例15求的幂级数展开形式。注：在前面例14中用待定系数法已求出幂级数展开式，现在用微分方程法计算，从而得到。解：设，因此，即，〈1〉由〈1〉两边同时求阶导数得：１５，〈2〉令得：，〈3〉这儿下标“0”表示在处的值，在〈1〉式中令得：，在〈3〉式两边微商一次得，，令，知，得：，，代入公式〈3〉得：，，，故〈4〉这里“”表示右边的级数为左边函数的泰勒级数，容易证明右边的级数的收敛半径，利用逐项微分法可以验证级数的和函数是〈1〉给定的微分方