一轮复习配套讲义:第2篇 第13讲 定积分与微积分基本定理

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1、第13讲 定积分与微积分基本定理[最新考纲]1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.知识梳理1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式(ξi)Δx=f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=f(ξi).(2)定积分的几何意义①当f(x)≥0

2、时,定积分f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.(图1)②当f(x)在区间[a,b]上有正有负时,如图2所示,则定积分f(x)dx表示介于x轴.曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和,即f(x)dx=A1+A3-A2.2.定积分的性质(1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数).(2)[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a

3、本定理一般地,如果f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且F′(x)=f(x).那么f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.辨析感悟1.关于定积分概念的理解(1)定积分概念中对区间[a,b]的分割具有任意性.(√)(2)当n→+∞时,和式(ξi)·Δx=f(ξi)无限趋近于某一确定的常数.(√)(3)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)dx=f(t)dt.(√)2.定积分的几何意义与物理意义(4)在区间[a,b]上的连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(

4、a≠b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=

5、f(x)

6、dx.(√)(5)若f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(×)(6)(教材习题改编)已知质点的速度v=10t,则从t=0到t=t0质点所经过的路程是s==5t.(√)3.定积分的性质及微积分基本定理(7)若f(x)是连续的偶函数,则=2f(x)dx.(√)(8)若f(x)是连续的奇函数,则=0.(√)(9)(2013·湖南卷改编)如果x2dx=9,则常数T=3.(√)[感悟·提升]1.一种思想 定积分基本思想的核心是“以

7、直代曲”,用“有限”步骤解决“无限”问题,其方法是“分割求近似,求和取极限”.定积分只与积分区间和被积函数有关,与积分变量无关,如(2)、(3).2.一个定理 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算,如(9)中,可确定一个原函数F(x)=x3,进而求T.3.两点提醒 一是重视定积分性质在求值中的应用,如(7)、(8).二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系,定积分可正、可负、也可以为0,是曲边梯形面积的代数和,但曲边梯形面积非负,如(4).学生用书第46页考点一 定积分的计算【

8、例1】(1)若=2,则实数a等于(  ).A.-1B.1C.D.-(2)定积分dx的值为________.(3)已知函数f(x)=sin5x+1,则的值为________.解析 (1)∵(asinx-cosx)′=sinx+acosx,=-(asin0-cos0)=a+1,∴a+1=2.∴a=1.(2)由定积分的几何意义知,dx是由曲线y=,直线x=0,x=3,y=0围成的封闭图形的面积.故dx==.答案 (1)B (2)π (3)π规律方法(1)用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数的原函数.此外,如果被积函数是绝对

9、值函数或分段函数,那么可以利用定积分对积分区间的可加性,将积分区间分解,代入相应的解析式,分别求出积分值相加.(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.(3)若y=f(x)为奇函数,则=0.【训练1】(1)定积分=________.(2)(2014·广东六校模拟)=________.解析 (1)∵′=x2+sinx,∴==.(2)由定积分的几何意义知,是由曲线y=,直线x=-1,x=0,y=0围成的封闭图形的面积,故==.答案 (1) (2)考点二 利用定积分求平面图形的面积【例2】(1)已知二次函数y=f(x)的图象如

10、图所示,则它与x轴所围图形的面积为(  ).A.B.C.D.(2)曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为,则k=________.审题路线 (1)先求二次函数f(x)的解析式,再利用定积分的几何意义求面积.(2)先求交点坐标,确定积分区间,再利用定积分的几何意义求面积

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