解决排列组合问题的常用方法

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1、考仕网(www.exammm.com)解决排列组合问题的常用方法在每年的公务员考试中,听到抱怨最多的就是数量关系模块,有些人面对难题毫无头绪,干脆放弃;也有些人耗费了大量时间,最终也还是没有做对。为此,考仕网(www.exammm.com)名师彻底解决排列组合问题。1.特殊元素,优先处理;特殊位置,优先考虑例1:六人站成一排,求甲不在排头,乙不在排尾的排列数()A.504B.520C.480D.532答案:A分析:法1:先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考虑分类。第一类:乙在排头,有P(5.5)种站法。第二类:乙不

2、在排头,当然他也不能在排尾,这时候有4种选择即C(4.1),还剩5个位置,甲不能再排头所以只有4种选择C(4.1),剩下的全排列,即有C(4.1)C(4.1)A(4.4)种站法。2.反面考虑法法2:全排列减掉甲在排头的、乙在排尾的、再加上他们多减的部分(正好甲在排头,乙在排尾)P(6.6)-P(5.5)*2+P(4.4)=504例2:某单位邀请10名教师中的6位参加一个会议,其中甲乙两位不能同时参加,则邀请的不同方法有多少种()A.84B.98C.112D.140答案:D解析:法1:①甲参加,乙不参加,有C(8.5)=56种②

3、乙参加,甲不参加,有C(8.5)=56种③甲,乙都不参加,有C(8.6)=28种5考仕网(www.exammm.com)则邀请的不同方法有56+56+28=140种法2:从反面考虑,甲乙都参加,有C(8.4)=70种C(10.6)-C(8.4)=1403.捆绑法例3:A、B、C、D、E五人排成一排,其中A、B两人必须站在一起,共有()种排法。A.120B.72C.48D24答案:C解析:将A、B捆绑一起,与C、D、E一起排,共有种排法,A、B又有种排法,共有种排法。例4:(河北招警2010-32)从单词“equation”选5

4、个不同的字母排成一排,且含有qu(其中qu相连且顺序不变),共有()种排法。A.120B.480C.720D840答案:B解析:①从剩下的6个字母里选3个,有C(6,3)=20,②再将这3个字母和qu全排列A(4.4)=24所以共有20×24=480种排法4.错位排列错位排列问题:有封信和个信封,每封信都不装在自己的信封里,比如:2封信就有1种装法;3封信的具体装法1→2,2→3,3→1和1→3,2→1,3→2就有2种装法;随着信封数目的增多,这种问题也随之复杂多了。应用集合中的容斥原理,我们就可得到“装错信封问题”的数学模型

5、的求解公式,请牢记:设这个数的错位排列数为,当时,,,5考仕网(www.exammm.com),,…,经过枚举我们可以得到:例5:甲乙丙丁四个同学站成一队,从左到右数,如果甲不排在第一个位置,乙不排在第二个位置,丙不排在第三个位置,丁不排在第四个位置,那不同的排法有几种?A.9B.11C.12D24答案:A5.间接计数法.(排除法)例6:三行三列共九个点,以这些点为顶点可组成多少个三角形?A.79B.71C72D76答案:D分析:有些问题正面求解有一定困难,可以采用间接法。所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数

6、,C(9.3)-8例7:正方体8个顶点中取出4个,可组成多少个四面体?分析:所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数,∴共C(8.4)-12=70-12=58个。6.分配插板什么时候使用插板法呢?有两个前提:1)相同的东西进行分配;2)每人至少分一个;例8:(河南政法2010A-41)把9个苹果分给5个人,每人至少分一个苹果,那么不同的分法有多少种?()A.70B.40C.50D605考仕网(www.exammm.com)答案:A分析:9个苹果排成一排,形成8个空,插4个挡板,就可以把这9个苹果分成5份,并且每份

7、至少1个,例9:10个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方法?分析:把10个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共种。例10:5个教师分配到3个班参加活动,每班至少1人,有几种不同的分法? 错解:把5个老师排成一排,中间投入四块挡板:0

8、0

9、0

10、0

11、0,只要在4块挡板中任取2块,一共有=6种不同的方法. 错因:5个教师是互不相同的,而用挡板时,要求这些元素必须相同.即把问题改为:把5个名额分配给3个班,每班至少有1人.问有几种不

12、同的分法?5个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决. 正解:先把5位老师分成三堆,有两类:1、1、3和1、2、2分别有和种,再分到三个班里,共有=150种. 【点评】类似上面的分配问题,当元素有区别时,要利用分组办法解决,当元素无区别时,可用挡板模型来解决.7.等价转换当考试

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