用matlab实现线性卷积运算

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1、北京邮电大学实验报告实验名称：用MATLAB实现线性卷积运算学院：信息与通信工程学院班级：姓名：学号：日期：2012年5月一、实验原理1、算法产生背景DFT是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的。DFT具备明确且合理的物理含义，适合应用于数字系统，同时可以方便地由计算机进行运算。对于线性非移变离散系统，可由线性卷积表示时域输入输出关系，即()()*()ynxnhn=通常采用循环卷积降低运算量，但实际中往往无法满足对信号处理的实时性要求。因此，产生了重叠相加法和重叠

2、保留法两种典型的算法，用以快速计算线性卷积，成为了DFT的一个重要应用。2、算法基本思想1）重叠相加法重叠相加法是将待过滤的信号分割成长为N的若干段，如图1所示，每一段都可以和有限时宽单位取样响应作卷积，再将过滤后的各段重叠相加。具体算法实现原理如图2所示，建立缓存序列，每次输入N点序列，通过计算x(n)和h(n)的循环卷积实现线性卷积运算，将缓存的M-1点序列和卷积结果相加，并输出前N点作为计算结果，同时缓存后M-1点，如此循环，直至所有分段计算完毕，则输出序列y(n)为最终计算结果。2）重叠保留法重叠保留法相当于将x
l(n)和h(
n)作循环卷积，然后找出循环卷积中

3、相当于线性卷积的部分。在这种情况下，将序列y(n)分为长为N的若干段(如图3所示)，每个输入段和前一段有M-1个重叠点。此时只需要将发生重叠的前M-1个点舍去，保留重叠的部分并输出，则可获得序列y(n)，算法如图4所示。二、流程图设计1、重叠相加法2、重叠保留法三、MATLAB源代码1、重叠相加源码2.重叠保留源码2、四、实验结果与分析对两种算法采用同一序列进行测试分析。设
56421.(
56411.)=(
56411.+1),0≤
56411.≤9;ℎ
56411.)=*−,0,+2+。计算y(n)=x(n)∗(n)。①调用conv()计算首先利用Matlab对两序列

4、直接运算，得出正确结果。代码为：x=*1:1:10+,h=*-2,0,+2+,conv(x,h)结果为:*-2-4-4-4-4-4-4-4-4-41820+②测试重叠相加算法代码为：overlap_add(x,h,6)结果为：*-2.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.000018.000020.0000+③测试重叠保留算法代码为：overlap_save(x,h,4)结果为：*-2.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0000-4.0

5、000-4.0000-4.000018.000020.0000+由此可见，两种算法运行正常，计算正确。更多的测试也正确。算法正确。-图1.重叠相加法耗时与数据规模关系图从上至下，依次为：N=4,10,100,10000,1000五、讨论与总结1、算法效率分析：由上表和图1可以看出，随着数据规模增大，运算耗时呈线性增长，因而算法的时间复杂度为O(n)，其中n为数据规模。因而重叠相加算法具有可行性和实用性。再从算法的空间复杂度来看，由于分配的缓存空间只由分段长度确定，不随数据规模的变化而变化，因而空间复杂度为O(1)。综合考察，重叠相加法具有较好的时间和空间复杂度。当数据量达

6、到千万量级时，运算延时最少大约为2.328s，可运用于对信号的实时处理。由上表和图2可以看出，同重叠相加法类似，随着数据规模的增大，运算耗时呈线性增长，算法的时间复杂度为O(n)，其中n为数据规模。同样由于分配的缓存空间只由分段长度确定，空间复杂度为O(1)。综合考察，重叠保留法也具有较好的时间和空间复杂度。当数据量达到千万量级时，运算延时最少大约为2.335s，可运用于对信号的实时处理。由上表和图3可以看出，调用系统自带的线性卷积运算函数conv()计算线性卷积，运算时间和序列长度也有线性关系。时间复杂度为O(n)。但此时的信号处理延时很小，当数据达到千万量级时，延时仅

7、为0.325s，实时性非常好！重叠保留法和重叠相加法运行效率与分段长度相关性较强。分段数和卷积运算的序列长度为非线性关系，且当分段长度维持在大约1000点左右时，获得最高的平均运行效率。内置函数conv()运行效率与分段数无关。重叠相加和重叠保留两者效率几乎一致。在实际应用中，重叠保留和重叠相加主要用于实施信号处理，因而输入序列是连续输入，在保证实时性的要求下，输入序列的分段不能太长。设想实际情况如下：设语音信号采样率为8KHz，相当于每秒输入8000点序列，由重叠相加法处理(重叠保留法类似)。如若分段为1000点，考虑实际系