小小空集不可忽视

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1、小小空集不可忽视　　摘要：在解题过程中，空集是一种特殊的集合，它在有关集合运算中，起着十分重要的作用。空集是任何一个集合的子集这一性质容易被忽略，就可能导致错解和漏解。　　关键词：空集；性质；解题　　在解题过程中，空集是一种特殊的集合，它在有关集合运算中，起着十分重要的作用。空集是任何一个集合的子集这一性质容易被忽略，就可能导致错解和漏解。本文从学生的作业中发现几种忽视空集的情况，列举出来，以期达到正确运用空集的性质解题的目的。　　一、没理解空集的定义而忽略空集与集合的关系　　例1.判断下列几个命题，将正确的序号填在横线上___________。　　①φ={0}②φ？哿A③φ∈{φ}　

2、　④{x

3、y=x2+1}∪{（x，y）

4、y=x2+1}=φ　　解：①不正确，定义中说φ不含有任何元素，{0}是含有一个元素0的单元素集合，不相等。②正确，φ是任何集合的子集。③正确，φ是个集合但它也可以看成{φ}中的一个元素，故可用属于符号。　　④正确，两个集合代表元素不同，也不可能有公共元素，交集为φ。　　点评：本题涉及了φ的基本性质，包括它的定义、与其他集合的关系等。从解析过程我们需要注意这几方面：φ含元素个数为0而不是含有0元素、φ是任何集合的子集是任何非空集合的真子集、φ可以作为元素看待、集合代表元素不同交集为φ。这几点，对于我们全面认识φ很有帮助。　　答案：D　　二、没理解空

5、集的性质而忽视空集的存在　　例2.设集合A={x

6、x2+4x=0}，B={x

7、x2+2（a+1）x+a2-1=0}，若B？哿A，求实数a的范围。　　解：A={x

8、x2+4x=0}={0，-4}。由B？哿A，得B=φ，或{0}，或{-4}，或{0，-4}。　　①当B=φ时，Δ=4（a+1）2-4（a2-1）<0，解得a<-1。　　②当B={0}时，由两根为0及韦达定理得2（a+1）=0a2-1=0，解得a=-1。　　③当B={-4}时，由两根为-4及韦达定理得2（a+1）=8a2-1=16，无解。　　④当B={0，-4}时，由韦达定理得2（a+1）=4a2-1=0，解得a=1。　　综上①

9、②③④知，所求实数a的范围为（-∞，-1]。　　点评：在对集合B讨论时，不要只注意到单元素集合还要注意到φ的情况。本题充分体现了空集是任何集合的子集。　　练习：（1）若集合P={x

10、x2+x-6=0}，S={x

11、ax+1=0}，且S？哿P，则由a的可取值组成的集合为__________。　　三、没理解空集的实质而忽视空集的存在　　例3.已知A={x

12、x2-3x-10≤0}，B={x

13、m+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求实数m的范围。　　解：A={x

14、x2-3x-10≤0}，解得{x

15、-2≤x≤5}　　①若m+1>2m-1，即m<2时，B=φ，适合题意。　　②若m+1=2m-1，即m

16、=2时，B={3}，适合题意。　　③若m+12时，要使B？哿A成立，只需2m-1≤5m+1≥-2　　解得-3≤m≤3。从而可得2

17、x2-x<6}B={x

18、0

19、-2

20、m

21、-2或m≥3即m≤-11或m≥3。　　那么A∪B≠φ，则-11

22、

23、x-a

24、<1，x∈R}，B={x

25、1