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1、大数定律及其在保险业中的应用2010年9月第30卷第5期天水师范学院JournalofTianshuiNormalUniversitySep.,2010V01.30NO.5大数定律及其在保险业中的应用曹小玲f长江大学信息与数学学院.湖北荆州434023)摘要:在介绍几种常用大数定律的基础上,阐述了它们在制定保费,拟定保险单位数及减少保险个人平均危险值等方面的应用.关键词:大数定律;保费;保险单位中图分类号:F840文献标识码:A文章编号:1671—1351(2010)05—0021—02我们知道.概率法则总是在对大量随机现象的考察中才能显现来.为了研究"大量"的随机
2、现象.常常采用极限的形式.这就引导到极限定理的研究.大数定律就是极限定理研究的成果之一.所谓大数定律.即是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称.}1J以抛一枚硬币为例.虽然我们不能准确预言每次抛得的是正面还是反面.但若经过独立抛掷充分多次数之后.现正面的频率与0.5很接近.即在大量的随机现象里.各自的偶然性在一定程度上可以相互抵消.相互补偿.因而有可能显示某种必然的法则来.1大数定律的几种形式大数定律形式有很多.现仅介绍几种最常用的大数定律.定理1.1f切比雪夫(Chebyshev)大数定律)设随机变量.,,…,??相互独立
3、,它们的方差依次为,:,…,:,…而且存在正常数,使得对一切l,2,…,有,(k>0),则对任意给定的正常数,恒有li—mp{喜一lnEf]<}=证明:利用切比雪夫不等式,有:l÷一÷,J,,.(喜]一.()一.(喜专]Pcf砉一喜c{～==—因为,,…,∥??是一列两两相互独立的随机变量.它们的方差有界.即可得到Dl∑,l=∑J[)()nk,从而有,一吉E()l≥嘉O.nOO.从而定律得证.切比雪夫大数定律在保险里可以说明.在承保标的数量足够大时.被保险人所交纳的纯保费与其所能获得赔款的期望值是相等的.这个结论反过来.则可说明保险人应如何收取纯保费.定
4、理1.2(伯努利(Bernoulli)大数定律)设是n次ff{努利试验fJ事件4发生的次数,p是每次试验中事件4发生的概率.则对任意给定的正数s,有limP{I一l<F}:1(证明略)"一ll"IJ此定律表明:当Et很大时."重伯努利试验中事件发生的频率几乎等于每次试验r{事件J4发生的概率.这个定理以严格的数学形式刻向频率的稳定性.因此.在实际应用中,当试验次数大时.便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.定理1.3(泊松(Poiss0n)大数定律)设在第i次试验中事件发生的概率为1,2…n.EtA表示n次试验中事件4发生的次数.则有泊松大数定律表明.当独立
5、进行的随机试验的条件变化时.频率仍然具有稳定性.即随着rz的无限增大.在凡次独立试验巾.事件的频率趋于稳定在各次试验中事件发生概率的算术平均值附近.2大数定律在保险业中的应用收稿日期:2010—01—12作者简介:曹小玲(1981一),女,湖北麻城人,长江大学信息与数学学院教师大数定律是保险业经营的一个重要数理基础21【:,l,........,<大数定律的运作.可以将个别风险单位遭遇损失的不确定性.转化为风险单位集合的损失的确定性.由于与损失金额的预测具有相关性,大数定律的运用直接关系到补偿或给付的实现程度与保险经营的稳定性.下面分成几个方面来阐述大数定律在
6、保险业中的一些应用.2.1制定保费以切比雪夫大数定律为例.该极限定理运用到保险行业.相当于有几个投保人或被保险人.同时投保了n个相互独立的保险标的,用毫表示每个标的实际发生损失的大小.其中,E(毫)为理论上每个投保人应缴纳的纯保费,∑为平均每个被保险人—t—1实际获得的赔款金额.当投保人数足够多.即一∞时.实际赔款金额等于理论上的纯保费[21.这一定律说明在承保标的的数量足够大时.保险人收取的纯保费应与被保险人所能获得赔款金额的期望值相等.2.2计算保险单位数,假设某类保险有100个被保险单位.每个单位的损失概率为p=O.2.由于一般情况下各个被保险单位是相互独立的
7、.所以.保险的损失次数服从二项分布,l~PX~b(n,P),其中n=lO0,p=O.2.设=EX,i=lfo,有,根据中心极限定理和(0～1)分布的t1.出现损失f∑n一1相关性质,有:尸z号'i=lz号}~1-0,取=0.05,【jZ0.025~2,则损失次数在区间[印-z旦nV'npO--p)一,印+z旦N/—np(1—-p)]=[12,28]这一范围内的概率为95%,即损失概率以95%的置信度落在区间『0.12,0.281之内.这样实际损失变动与保险单位总数的比率为8%,显然出入较大.大数定律告诉我们.在有足够多的标的物(保险单位数)时,实际损失结果与预期
