小学数学教学中函数思想的渗透

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1、小学数学教学中函数思想的渗透一、源起在北京市进行的一次说课比赛中，当一位选手进行了“正比例的意义”的说课后，评委向他提出了这样一个问题：“你在说课中几次提到了要在‘正比例’一课的教学中渗透函数的思想，请问你认为‘正比例’是函数吗？”说课者答道：“正比例是一种特殊的函数。”评委又问：“你说课中出现的一些图表能反映出一定的函数关系吗？”说课者却不敢断言。可以看出，这位教师对于什么是函数及函数本质的认识和理解不够准确和全面，那么其对什么是函数思想以及如何在小学数学课堂教学中进行有效渗透更可见一斑。目前，

2、在小学数学课堂教学中非常重视数学思想方法的有效渗透。然而，教师们对一些数学思想方法的理解和把握又是怎样的呢？是不是能在教学中进行有效的渗透呢？带着这样的问题，我们决定从众多的数学思想方法之中选择函数思想作为研究点。二、调研及分析（一）调研目的为了了解小学数学教师对函数的理解、对函数思想的认识以及对函数思想在课堂教学中渗透的情况，我们对东城区17名六年级数学教师进行了问卷调查。（二）调研问卷（见附件一）（三）调研结果统计表1  对函数定义的掌握情况能准确描述描述基本正确用某一特殊函数代表函数定义对函

3、数的定义根本不知道5.9％41.2％17.6％35.3％表2  对函数本质的认知情况选项①运动变化②对应思想③集合思想④数形结合⑤极限思想⑥符号化思想百分比94.1％94.1％28.5％58.8％71.5％23.5％表3  函数的表示法选项式图表文字百分比94.1％47.1％11.8％5.9％表4  判断题目①②③④⑤⑥⑦正确率5.9％5.9％94.1％94.1％5.9％94.1％41.2％（四）调研分析1.通过对以上调研结果的分析，可以得到以下结论：（1）通过表1可以看出，绝大多数教师不能用准确

4、的语言描述函数的定义；（2）通过表2可以看出，教师对于函数的本质有一定的认识，部分教师还存在模棱两可的认识；（3）通过表3可以看出，大多数教师认为能写出表达式的才叫函数，而图、表、文字等呈现方式他们认为不是函数；（4）通过表4可以看出，大多数教师能用运动变化的观点审视小学数学教材，知道哪些知识的教学中可以渗透函数思想。2.基于以上的调研，我们认为要做到小学数学教学中有效渗透函数思想，教师应解决好以下三个方面的问题。（1）什么是函数？（函数的本质）（2）什么是函数思想？（3）小学数学教学中如何渗透函

5、数思想？三、问题解决（一）什么是函数我们认为，要想解决一线老师们的问题，首先就是要澄清他们对函数的认识，建立正确的函数概念，这是一切的基础所在。1.函数定义（1）初中定义：一般地，在一个变化过程中如果有两个变量x、y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y为x的函数。[1]（2）高中定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函

6、数，记作：y＝f（x），x∈A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y叫做函数值，函数值的集合：｛f（x）｜x∈A｝叫作函数的值域。[2]（3）大学定义：设非空集合DR，则映射f：D→R称为D上的一个函数，记作y＝f（x），x∈D。[3]以上三种定义就反映了函数的发展史，依次叫做函数的“变量说”“对应说”和“关系说”。 “变量说”建立在变量(数)的基础上，优点是形象、直观、自然，通俗易懂，但没有突出函数的本质——对应关系。“对应说”和“关系说”建立在集合论的基础上，

7、更接近现代数学的语言，普适性强，更重要的是它们都抓住了函数的本质——对应关系。[4]2.函数的常用表示法数学中研究函数主要是研究函数的变化特征（因为函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征），一般来说主要研究函数的性质。为了研究函数的性质人们往往借助解析式表示法、表格表示法和图像表示法这三种表示方法。解析式表示法是最常用的方法，适用于表述连续函数或者分段函数。解析式有利于研究函数的性质、构建数学模型，对初学者来说也是最抽象的。表格表示法适用于表述变量取值是离散的情况。图像表示法可以直观地表述函

8、数的形态，有利于分析函数的性质。3.澄清几个问题在调研中发现，多数教师对于数列、图像、表格等是否是函数认识不清。（1）数列是特殊的函数。它的定义域一般是指非负的正整数集，也可以为自然数集，或者自然数集的子集。自然数是离散的，因此，数列通常称为离散函数。[5]（2）图像是函数。（3）表格是函数。教师应该认识到，虽然某些数列、图像、表格虽然不能用解析式表达出内在的规律，但是其中的变量仍旧存在着一定的关系，所以它们都是函数。（二）什么是函数思想函数的思想方法就是运用运动和变化的观点、集合